Question

6．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1+cos2x}{2sin（\frac{π}{2}-x）}$+sinx+a²sin（x+$\frac{π}{4}$）．
（1）求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若函數(shù)y=f（x）的最小值為-$\sqrt{2}$-4，試確定常數(shù)a的值．

Answer 1

分析 （1）由三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用化簡(jiǎn)函數(shù)解析式可得f（x）=（a²+$\sqrt{2}$）sin（x+$\frac{π}{4}$），由2kπ-$\frac{π}{2}$≤x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z可解得函數(shù)y=f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．
（2）由（1）及題意可得：-（a²+$\sqrt{2}$）=-$\sqrt{2}$-4，從而解得a的值．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{1+cos2x}{2sin（\frac{π}{2}-x）}$+sinx+a²sin（x+$\frac{π}{4}$）=cosx+sinx+$\frac{\sqrt{2}}{2}$a²（sinx+cosx）=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$a²+1）（sinx+cosx）=（a²+$\sqrt{2}$）sin（x+$\frac{π}{4}$）．
∴由2kπ-$\frac{π}{2}$≤x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z可解得函數(shù)y=f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為：[2k$π-\frac{3π}{4}$，2k$π+\frac{π}{4}$]，k∈Z．
（2）∵sin（$\frac{π}{2}$-x）≠0，解得：x≠$\frac{π}{2}$-kπ，k∈Z，
∴由（1）及題意可得：當(dāng)x+$\frac{π}{4}$=2kπ-$\frac{π}{2}$時(shí)，即x=2kπ$-\frac{3π}{4}$時(shí)，有：-（a²+$\sqrt{2}$）=-$\sqrt{2}$-4，
∴解得：a=±2．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于基本知識(shí)的考查．