在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,函數(shù)f(x)=2cosxsin(x-A)+sinA(x∈R)在x=
12
處取得最大值.
(1)求角A的大小.
(2)若a=7且sinB+sinC=
13
3
14
,求△ABC的面積.
考點:余弦定理,正弦定理
專題:解三角形
分析:(1)在△ABC中,利用三角函數(shù)的恒等變化化簡f(x)的解析式為f(x)=sin(2x-A),you f(x)在x=
12
處取得最大值,可得
12
-A=2kπ+
π
2
,k∈z,結(jié)合A∈(0,π),可得A的值.
(2)由正弦定理
a
sinA
=
b
sinB
=
c
sinC
sinB+sinC=
b+c
a
sinA
,化簡可得b+c=13.由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,可得bc=40,由此求得S△ABC=
1
2
bcsinA
的值.
解答: 解:(1)在△ABC中,f(x)=2cosx(sinxcosA-cosxsinA)+sinA
=2sinxcosxcosA-2cos2xsinA+sinA=sin2xcosA-cos2xsinA=sin(2x-A),
∵f(x)在x=
12
處取得最大值,∴
12
-A=2kπ+
π
2
,k∈z,即A=
π
3
-2kπ,k∈Z

∵A∈(0,π),∴A=
π
3

(2)由正弦定理
a
sinA
=
b
sinB
=
c
sinC
sinB+sinC=
b+c
a
sinA
,
13
3
14
=
b+c
7
×
3
2
,∴b+c=13.
由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA得a2=(b+c)2-2bc-2bccosA,即49=169-3bc,∴bc=40,
S△ABC=
1
2
bcsinA=
1
2
×40×
3
2
=10
3
點評:本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換,正弦函數(shù)的對稱性,正弦定理、余弦定理的應(yīng)用,屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在區(qū)間[0,2]之間隨機抽取一個數(shù)x,則x滿足2x-1≥0的概率為( 。
A、
3
4
B、
1
2
C、
1
4
D、
1
3

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知,函數(shù)f(x)=
x+1
e2x

(1)如果x≥0時,f(x)≤
m
x+1
恒成立,求m的取值范圍;
(2)當a≤2時,求證:f(x)ln(2x+a)<x+1.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知P是橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)上一點,F(xiàn)1、F2是橢圓的焦點.若△PF1F2的周長為6,橢圓的離心率為
1
2
,求橢圓上的點到橢圓焦點的最小距離.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
ln(x+1)
ax+1

(1)當a=1,求函數(shù)y=f(x)的圖象在x=0處的切線方程;
(2)若函數(shù)f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,求實數(shù)a的取值范圍;
(3)已知x,y,z均為正實數(shù),且x+y+z=1,求證:
(3x-1)ln(x+1)
x-1
+
(3y-1)ln(y+1)
y-1
+
(3z-1)ln(z+1)
z-1
≤0.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知圓C:x2+y2-2x+4y-4=0,
(Ⅰ)若過定點(-2,0)的直線l與圓C相切,求直線l的方程;
(Ⅱ)若過定點(-1,0)且傾斜角為
π
6
的直線l與圓C相交于A,B兩點,求線段AB的中點P的坐標.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1的離心率為
2
2
,且橢圓過點(1,1),過原點的直線l與橢圓C交于A、B兩點,橢圓上一點M滿足MA=MB.
(1)求橢圓C的方程;
(2)求
1
OA2
+
1
OB2
+
2
OM2
的值;
(3)是否存在定圓,使得直線l繞原點轉(zhuǎn)動時,AM恒與該定圓相切,若存在,求出圓的方程,若不存在,說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓的中心在原點,焦點在x軸上,離心率為
3
2
,長軸長為4
5
,直線l:y=x+m交橢圓于不同的兩點A,B.
(1)求橢圓的方程;
(2)求m的取值范圍;
(3)若直線l不經(jīng)過橢圓上的點M(4,1),求證:直線MA,MB的斜率互為相反數(shù).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在區(qū)間[-2,3]上任取一個數(shù)a,則函數(shù)f(x)=
1
3
x3-ax2+(a+2)x有極值的概率為
 

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案