Question

給出下列命題：
①函數(shù)y=sin（

2

3

x+

7π

2

）是偶函數(shù)；
②函數(shù)y=2^|x|的最小值是1；
③函數(shù)y=ln（x²+1）的值域是R；
④函數(shù)y=sin2x的圖象向左平移

π

4

個(gè)單位，得到y(tǒng)=sin（2x+

π

4

）的圖象
⑤函數(shù)f（x）=2^x-x²只有兩個(gè)零點(diǎn)；
其中正確命題的序號(hào)是

①②⑤

．

Answer 1

分析：根據(jù)三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，結(jié)合余弦函數(shù)為偶函數(shù)得到①正確；根據(jù)絕對(duì)值非負(fù)的性質(zhì)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，可得②正確；根據(jù)平方非負(fù)的性質(zhì)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，可得③不正確；根據(jù)函數(shù)圖象平移的公式，可得④不正確；根據(jù)指數(shù)函數(shù)y=2^x與二次函數(shù)y=x²的圖象，可得函數(shù)f（x）=2^x-x²有3個(gè)零點(diǎn)，故⑤不正確．

解答：解：因?yàn)閟in（

2

3

x+

7π

2

）=-cos

2

3

x，
所以函數(shù)y=sin（

2

3

x+

7π

2

）即y=-cos

2

3

x，是定義域上的偶函數(shù)，故①正確；
因?yàn)閨x|≥0，可得y=2^|x|≥2⁰=1，故函數(shù)y=2^|x|的最小值是1，得②正確；
因?yàn)閤²+1≥1，可得ln（x²+1）≥0，得函數(shù)y=ln（x²+1）的值域是[0，+∞），不是R，故③不正確；
將函數(shù)y=sin2x的圖象向左平移

π

4

個(gè)單位，
到y(tǒng)=sin2（x+

π

4

）=sin（2x+

π

2

）的圖象，而不是y=sin（2x+

π

4

）的圖象，故④不正確；
對(duì)于⑤，因?yàn)楹瘮?shù)ff（x）=2^x-x²的零點(diǎn)除了2和4，還有一個(gè)負(fù)數(shù)
所以函數(shù)f（x）=2^x-x²有3個(gè)零點(diǎn)，故⑤不正確
因此，正確命題的序號(hào)為①②⑤
故答案為：①②⑤

點(diǎn)評(píng)：本題以命題真假的判斷為載體，著重考查了余弦函數(shù)的奇偶性、指對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)、函數(shù)的值域求法和函數(shù)圖象平移公式等知識(shí)，屬于中檔題．