Question

有一塊鐵皮零件，它的形狀是由邊長(zhǎng)為40cm的正方形CDEF截去一個(gè)三角形ABF所得的五邊形ABCDE，其中AF長(zhǎng)等于12cm，BF長(zhǎng)等于10cm，如圖所示．現(xiàn)在需要截取矩形鐵皮，使得矩形相鄰兩邊在CD，DE上．請(qǐng)問(wèn)如何截取，可以使得到的矩形面積最大？（圖中單位：cm）

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)最值的應(yīng)用,基本不等式在最值問(wèn)題中的應(yīng)用

專題：綜合題,探究型

分析：延長(zhǎng)MP交FB于G點(diǎn)，設(shè)PG=x，則PM=40-x，利用平行線構(gòu)造相似三角形，得出線段的比相等，從而表示矩形PNDM的長(zhǎng)、寬，再表示矩形的面積，利用配方法求函數(shù)的對(duì)稱軸，根據(jù)x的取值范圍求最大值．

解答： 解：延長(zhǎng)MP交FB于G點(diǎn)，設(shè)PG=x，則PM=40-x，
∵PG∥AF，
∴△BPG∽△BAF，
∴

BG

10

=

x

12

，解得BG=

5

6

x，
∴NP=CG=30+

5

6

x，
∴S_矩形PNDM=PM•PN=（30+

5

6

x）（40-x）
=-

5

6

x²+

10

3

x+1200=-

5

6

（x-2）²+1200+

10

3

（0≤x≤12），
∴當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)有最大值為1203

1

3

，
此時(shí)DN=38cm，DM=

95

3

cm．

點(diǎn)評(píng)：此題綜合考查比例線段、二次函數(shù)等知識(shí)．解決此題的關(guān)鍵在于在AB上找一點(diǎn)P，轉(zhuǎn)變?yōu)榍驪M、PN的值．