Question

已知橢圓C：的左、右頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（-2，0），B（2，0），離心率．
（Ⅰ）求橢圓C的方程：
（Ⅱ）設(shè)橢圓的兩焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，若直線l：y=k（x-1）（k≠0）與橢圓交于M、N兩點(diǎn)，證明直線AM與直線BN的交點(diǎn)在直線x=4上．

Answer 1

（Ⅰ）解：由題意，a=2，，∴c=1，∴b²=a²-c²=3
∴橢圓C的方程為：；
（Ⅱ）證明：將直線l：y=k（x-1）代入橢圓C的方程，消去y并整理得（3+4k²）x²-8k²x+4（k²-3）=0．
設(shè)直線l與橢圓C交點(diǎn)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則x₁+x₂=，x₁x₂=．
直線AM的方程為：y=），它與直線x=4的交點(diǎn)坐標(biāo)為P（4，）
同理可求得直線BN與直線x=4的交點(diǎn)坐標(biāo)為Q（4，）．
下面證明P，Q兩點(diǎn)重合，即證明P，Q兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等．
∵y₁=k（x₁-1），y₂=k（x₂-1），
∴-===0
∴P，Q兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等．
綜上可知，直線AM與直線BN的交點(diǎn)住直線x=5上．
分析：（Ⅰ）由橢圓的左、右頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（-2，0），B（2，0），離心率，可得a，c的值，由此可得橢圓C的方程；
（Ⅱ）將直線l：y=k（x-1）代入橢圓C的方程，消去y并整理一元二次方程，設(shè)直線AM的方程，求得與直線x=4的交點(diǎn)坐標(biāo)P，同理可求得直線BN與直線x=4的交點(diǎn)坐標(biāo)Q，證明P，Q兩點(diǎn)重合，即證明P，Q兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，橢圓方程的求法，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力，屬于中檔題．