Question

已知圓A：x²+y²+2x+2y-2=0，圓B：x²+y²-2ax-2by+a²-1=0，如果圓B始終平分圓A的周長
（I）求動圓B的圓心的軌跡方程；
（II）當圓B的半徑最小時，求圓B的標準方程．

Answer 1

考點：圓與圓的位置關系及其判定

專題：計算題

分析：（Ⅰ）把兩圓的方程相減即得兩圓公共弦所在直線l方程，由題意知直線l經(jīng)過圓A的圓心，得 a²+2a+2b+5=0，設動圓B的圓心為（x，y），則x=a，y=b，從而得到圓B的圓心的軌跡方程．
（II）由圓B的方程可得半徑為

1+b2

，由（I） a²+2a+2b+5=0，可得b≤-2，因而

1+b2

≥

5

，由此求得此時圓B的方程．

解答： 解：（Ⅰ）把兩圓的方程相減即得兩圓公共弦所在直線l方程為2（a+1）x+2（b+1）y-a²-1=0，
由題意知直線l經(jīng)過圓A的圓心（-1，-1），因而 a²+2a+2b+5=0．
設動圓B的圓心為（x，y），則由圓B的方程：x²+y²-2ax-2by+a²-1=0可得B（a，b），
即 x=a，y=b，則所求方程為 x²+2x+2y+5=0．
（II） 圓B：（x-a）²+（y-b）²=1+b²，其半徑為

1+b2

．
由（I） a²+2a+2b+5=0，即 2b+4=-（a+1）²≤0，
所以b≤-2，因而

1+b2

≥

5

，
此時圓B：（x+1）²+（y+2）²=5．

點評：本題主要考查兩圓的位置關系及其判定，求點的軌跡方程以及求圓的標準方程，屬于中檔題．