Question

3．如表提供了某廠(chǎng)節(jié)能降耗技術(shù)改造后，生產(chǎn)甲產(chǎn)品過(guò)程中記錄的產(chǎn)量x（噸）與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗y（噸標(biāo)準(zhǔn)煤）的幾組對(duì)照數(shù)據(jù)

x	3	4	5	6
y	2.5	3	4	4.5

（1）請(qǐng)畫(huà)出上表數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖；
（2）請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的回歸直線(xiàn)方程；
（3）已知該廠(chǎng)技改前100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗為90噸標(biāo)準(zhǔn)煤．試根據(jù)（2）求出的回歸直線(xiàn)方程，預(yù)測(cè)生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技改前降低多少?lài)崢?biāo)準(zhǔn)煤？注：$\stackrel{∧}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n（\overline{x}）^{2}}$，$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}$$\overline{x}$．

Answer 1

分析 （1）把所給的四對(duì)數(shù)據(jù)寫(xiě)成對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)，在坐標(biāo)系中描出來(lái)得到散點(diǎn)圖；
（2）計(jì)算對(duì)應(yīng)的數(shù)值，求出回歸方程的系數(shù)，寫(xiě)出線(xiàn)性回歸方程；
（3）利用線(xiàn)性回歸方程計(jì)算x=100時(shí)$\stackrel{∧}{y}$的值，再求比技改前降低的噸數(shù)．

解答 解：（1）把所給的四對(duì)數(shù)據(jù)寫(xiě)成對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)，在坐標(biāo)系中描出來(lái)，得到散點(diǎn)圖；
（2）計(jì)算$\overline{x}$=$\frac{1}{4}$×（3+4+5+6）=4.5，
$\overline{y}$=$\frac{1}{4}$×（2.5+3+4+4.5）=3.5，
$\sum_{i=1}^{4}$${{x}_{i}}^{2}$=3²+4²+5²+6²=86，
$\sum_{i=1}^{4}$x_iy_i=3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5，
∴回歸方程的系數(shù)為：$\stackrel{∧}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n（\overline{x}）^{2}}$=$\frac{66.5-4×4.5×3.5}{86-4{×4.5}^{2}}$=0.7，
$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}$$\overline{x}$=3.5-0.7×4.5=0.35，
∴所求線(xiàn)性回歸方程為$\stackrel{∧}{y}$=0.7x+0.35；
（3）利用線(xiàn)性回歸方程計(jì)算x=100時(shí)，$\stackrel{∧}{y}$=0.7×100+0.35=70.35，
則90-70.35=19.65，
即比技改前降低了19.65噸．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線(xiàn)性回歸方程的求法與應(yīng)用問(wèn)題，也考查了散點(diǎn)圖的畫(huà)法問(wèn)題，是基礎(chǔ)題目．