Question

如圖所示的兩個(gè)同心圓盤均被n等分（n∈N⁺且n≥2），在相重疊的扇形格中依次同時(shí)填上1，2，3，L，n，內(nèi)圓盤可繞圓心旋轉(zhuǎn)，每次可旋轉(zhuǎn)一個(gè)扇形格，當(dāng)內(nèi)圓盤旋轉(zhuǎn)到某一位置時(shí)，定義所有重疊扇形格中兩數(shù)之積的和為此位置的“旋轉(zhuǎn)和”．
（Ⅰ）求n個(gè)不同位置的“旋轉(zhuǎn)和”的和；
（Ⅱ）當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，求n個(gè)不同位置的“旋轉(zhuǎn)和”的最小值；
（Ⅲ）設(shè)n=4m（m∈N⁺），在如圖所示的初始位置將任意m對(duì)重疊的扇形格中的兩數(shù)均改寫(xiě)為0，證明：當(dāng)m≤4時(shí)，通過(guò)旋轉(zhuǎn)，總存在一個(gè)位置，任意重疊的扇形格中兩數(shù)不同時(shí)為0．

Answer 1

考點(diǎn)：進(jìn)行簡(jiǎn)單的合情推理

專題：綜合題,推理和證明

分析：（Ⅰ）由于內(nèi)盤中的任一數(shù)都會(huì)和外盤中的每個(gè)作積，故可得n個(gè)不同位置的“旋轉(zhuǎn)和”的和；
（Ⅱ）求出內(nèi)盤中的1和外盤中的k同扇形格時(shí)的“旋轉(zhuǎn)和”，當(dāng)k＜

n+1

2

時(shí)，a_k+1＜a_k，當(dāng)k＞

n+1

2

時(shí)，a_k+1＞a_k，所以k=

n

2

+1時(shí)，a

n

2

+1最小，即可求n個(gè)不同位置的“旋轉(zhuǎn)和”的最小值；
（Ⅲ）利用反證法進(jìn)行證明即可．

解答： （Ⅰ）解：由于內(nèi)盤中的任一數(shù)都會(huì)和外盤中的每個(gè)作積，故n個(gè)不同位置的“旋轉(zhuǎn)和”的和為1×（1+2+…+n）+2×（1+2+…+n）+…+n×（1+2+…+n）=(1+2+…+n)×(1+2+…+n)=

n2(n+1)2

4

；  …（3分）
（Ⅱ）解：設(shè)內(nèi)盤中的1和外盤中的k同扇形格時(shí)的“旋轉(zhuǎn)和”為a_k
則a_k+1=1×（k+1）+2×（k+2）+…+（n-k）×n+（n-k+1）×1+…+n×ka_k
=1×k+2×（k+1）+…+（n-k）×（n-1）+（n-k+1）×n+…+n×（k-1）a_k+1-a_k
=1+2+…+（n-k）+（1-n）（n-k+1）+（n-k+2）+…+n
=(1+2+3+…+n)-n(n-k+1)=n(k-

k+1

2

)…（5分）
所以當(dāng)k＜

n+1

2

時(shí)，a_k+1＜a_k，當(dāng)k＞

n+1

2

時(shí)，a_k+1＞a_k，所以k=

n

2

+1時(shí)，a

n

2

+1最小
最小值a

n

2

+1=1×(

n

2

+1)+2×(

n

2

+2)+…+

n

2

×n+(

n

2

+1)×1+…+n×

n

2

=n(1+2+3+…+

n

2

 )+2(12+22+…+

n2

4

)=

n(n+2)(5n+2)

24

；…（8分）
（Ⅲ）證明：將圖中所有非0數(shù)改寫(xiě)為1，現(xiàn)假設(shè)任意位置，總存在一個(gè)重疊的扇形格中兩數(shù)同時(shí)為0，則此位置的“旋轉(zhuǎn)和”必大于或等于2m+1，初始位置外的4m-1個(gè)位置的“旋轉(zhuǎn)和”的和為（3m）²-3m，
則有（3m）²-3m≥（2m+1）（4m-1），即m²-5m+1≥0，所以m≥

5+ 21

2

，
這與m≤4矛盾，故命題得證．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題給出新概念，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，考查反證法，正確理解、轉(zhuǎn)化題意是關(guān)鍵．