Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，AC⊥BC，AC=BC=BB₁，點D是BC的中點．
（1）求證：A₁C∥平面AB₁D；
（2）求二面角B₁-AD-B的正弦值；
（3）判斷在線段B₁B上是否存在一點M，使得A₁M⊥B₁D？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）證明：以C為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的坐標(biāo)系，
設(shè)AC=BC=BB₁=2，則A₁（2，0，2），C（0，0，0），D（0，1，0），A（2，0，0），B₁（0，2，2），B（0，2，0）
∴，，
設(shè)平面AB₁D的法向量為=（x，y，z），則由，可得，故可取=（1，2，-1）
∵=0，∴A₁C∥平面AB₁D；
（2）解：由（1）知平面AB₁D的法向量為=（1，2，-1），平面ABD的法向量為=（0，0，2）
∴二面角B₁-AD-B的余弦值為||=||
∴二面角B₁-AD-B的正弦值為；
（3）解：設(shè)M（0，2，t），則=（-2，2，t-2），=（0，-1，-2）
若A₁M⊥B₁D，則，∴-2-2（t-2）=0，∴t=1
∴=1時，A₁M⊥B₁D．
分析：（1）以C為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的坐標(biāo)系，求出面AB₁D的法向量，證明=0，即可得到結(jié)論；
（2）確定平面AB₁D的法向量、平面ABD的法向量，利用向量的夾角公式，即可求得結(jié)論；
（3）設(shè)出M的坐標(biāo)，利用則，可得結(jié)論．
點評：本題考查線面平行，考查面面角，考查向量知識的運用，解題的關(guān)鍵是正確建立坐標(biāo)系，屬于中檔題．