已知函數(shù)f(x)=
a3
x3+bx2+4cx是奇函數(shù)，函數(shù)f（x）的圖象在點(diǎn)（1，f（1））處切線的斜率為-6，且當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)f（x）有極值．
（1）求b的值；
（2）求f（x）的解析式；
（3）求f（x）的單調(diào)區(qū)間．
分析：（1）由函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，得出f（-x）=-f（x），從而求出b值；
（2）由函數(shù)f（x）在x=2處取得極值，且在x=1處的切線的斜率為-6，求導(dǎo)，可得±1是f′（x）=0的兩根，且f′（0）=-6，解方程組即可求得，a，c的值，從而求得f（x）的解析式；
（3）把（2）確定的解析式，令導(dǎo)函數(shù)等于0求出x的值，根據(jù)x的值分區(qū)間討論導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，進(jìn)而得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
解答：解：（1）由函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，∴f（-x）=-f（x），∴b=0
（2）由f(x)=
a
3
x3+4cx，有f'（x）=ax2+4c且f'（1）=-6，f'（2）=0
∴
a+4c=-6
4a+4c=0
解得  
a=2
c=-2

故f(x)=
2
3
x3-8x
（3）∵f(x)=
2
3
x3-8x
∴f'（x）=2x2-8=2（x+2）（x-2）
令f'（x）＞0得x＜-2或x＞2，令f'（x）＜0得-2＜x＜2
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，-2]，[2，+∞）；單調(diào)減區(qū)間為[-2，2]
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查學(xué)生會(huì)利用導(dǎo)數(shù)求曲線上過(guò)某點(diǎn)切線方程的斜率，會(huì)利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，是一道中檔題．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=a-
12x+1
．
（1）求證：不論a為何實(shí)數(shù)f（x）總是為增函數(shù)；
（2）確定a的值，使f（x）為奇函數(shù)；
（3）當(dāng)f（x）為奇函數(shù)時(shí)，求f（x）的值域．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(x)
a-x  ，x≤0
1  ，0＜x≤3
(x-5)2-a，x＞3
（a＞0且a≠1）圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q（8，6）．
（1）求a的值，并在直線坐標(biāo)系中畫出函數(shù)f（x）的大致圖象；
（2）求函數(shù)f（t）-9的零點(diǎn)；
（3）設(shè)q（t）=f（t+1）-f（t）（t∈R），求函數(shù)q（t）的單調(diào)遞增區(qū)間．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=a-
1
2x+1
，若f（x）為奇函數(shù)，則a=（　　）
A、
1
2
B、2
C、
1
3
D、3

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
a(x-1)x2
，其中a＞0．
（I）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（II）若直線x-y-1=0是曲線y=f（x）的切線，求實(shí)數(shù)a的值；
（III）設(shè)g（x）=xlnx-x2f（x），求g（x）在區(qū)間[1，e]上的最小值．（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=a-
12x-1
，（a∈R）
（1）求f（x）的定義域；
（2）若f（x）為奇函數(shù)，求a的值；
（3）考察f（x）在定義域上單調(diào)性的情況，并證明你的結(jié)論．

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