Question

已知函數(shù)y=f（x）滿足，且．
如果存在正項數(shù)列{a_n}滿足：=a₁³+a₂³+a₃³+…+a_n³-n²a_n（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項；
（2）求證：；
（3）求證：．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用，可得y=f（x）=x³-x+1（x≠0），代入f（a₁）+f（a₂）+f（a₃）+…+f（a_n）-n=a₁³+a₂³+a₃³+…+a_n³-n²a_n（n∈N^*）．可得a₁+a₂+a₃+…+a_n=n²a_n ．再寫一式a₁+a₂+a₃+…+a_n-1=（n-1）²a_n-1（n≥2），相減，再利用疊乘法求數(shù)列{a_n}的通項；
（2）由（1）得=，利用放縮法可證；
（3）利用放縮法得=
代入求和即證．
解答：解：（1），∴y=f（x）=x³-x+1（x≠0）
∵f（a₁）+f（a₂）+f（a₃）+…+f（a_n）-n=a₁³+a₂³+a₃³+…+a_n³-n²a_n（n∈N^*）．
所以代入得a₁+a₂+a₃+…+a_n=n²a_n ①
又a₁+a₂+a₃+…+a_n-1=（n-1）²a_n-1（n≥2）②
①-②得 則…（4分）
（2）由（1）得=
∴…（9分）
（3）∵∴
而=
所以…（14分）
點評：本題的考點是數(shù)列與不等式的綜合，主要考查疊乘法求數(shù)列的通項，考查裂項法求和，考查放縮法，關(guān)鍵是合理運用通項，巧妙放縮．