Question

設(shè)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x≥0時，f（x）=，若對任意的x∈[a，a+2]不等式f（x+a）f（x）恒成立，則a的最大值為________．

Answer 1

-4
分析：由當(dāng)x≥0時，f（x）=，由函數(shù)是奇函數(shù)，可得當(dāng)x＜0時，f（x）=-，從而可知f（x）在R上是單調(diào)遞增函數(shù)，且滿足f（x）=f（3x），再根據(jù)單調(diào)性把不等式f（x+a）≥f（x）轉(zhuǎn)化為具體不等式在[a，a+2]恒成立，分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值，即可得出答案．
解答：當(dāng)x≥0時，f（x）=，
∵函數(shù)是奇函數(shù)，∴當(dāng)x＜0時，f（x）=-，
∴f（x）=，
∴f（x）在R上是單調(diào)遞增函數(shù)，且滿足f（x）=f（3x），
∵不等式f（x+a）≥f（x）=f（3x）在[a，a+2]恒成立，
∴x+a≥3x在[a，a+2]恒成立，即：x≤在[a，a+2]恒成立，
∴a+2，解得a≤-4．
故答案為：-4．
點評：本題考查了函數(shù)恒成立問題及函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性的應(yīng)用，難度適中，關(guān)鍵是掌握函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性．