Question

設(shè)函數(shù)f（x）=（x+2）²-2ln（x+2）．
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若關(guān)于x的方程f（x）=x²+3x+a在區(qū)間[-1，1]上只有一個實數(shù)根，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ）函數(shù)f（x）的定義域為（-2，+∞），
因為f′（x）=2[（x+2）-

1

x+2

]=

2(x+1)(x+3)

x+2

，
所以 當(dāng)-2＜x＜-1時，f′（x）＜0；
當(dāng)x＞-1時，f′（x）＞0．
故f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-1，+∞）；
f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（-2，-1）（注：-1處寫成“閉的”亦可）
（Ⅱ）由f（x）=x²+3x+a得：x-a+4-2ln（2+x）=0，
設(shè)g（x）=x-a+4-2ln（2+x），求導(dǎo)數(shù)得g′（x）=1-

2

x+2

=

x

x+2

在區(qū)間[-1，1]上加以討論：
當(dāng)-1＜x＜0時，g′（x）＜0，而當(dāng)0＜x＜1時，g′（x）＞0，
故g（x）在[-1，0]上遞減，在[0，1]上遞增，
要使方程f（x）=x²+3x+a在區(qū)間[-1，-1]上只有一個實數(shù)根，
則必須且只需g（0）=0，或

g(-1)＜0 g(1)≥0

或

g(-1)≥0 g(1)＜0

接下來分類：
①當(dāng)g（0）=0時，解之得a=4-2ln2；
②當(dāng)

g(-1)＜0 g(1)≥0

時，

-1-a+4-2ln(2-1) ＜0 1-a+4-2ln3≥0

解之得a∈φ
③當(dāng)

g(-1)≥0 g(1)＜0

時，

-1-a+4-2ln(2-1) ≥0 1-a+4-2ln3＜0

解之得a∈（5-2ln3，3]
綜上所述，得a=4-2ln2，或a∈（5-2ln3，3]
所以實數(shù)a的取值范圍（5-2ln3，3]∪{4-2ln2}．