Question

[理]如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是棱A₁D₁的中點(diǎn)，H為平面EDB內(nèi)一點(diǎn)，
（1）證明HC₁⊥平面EDB；
（2）求BC₁與平面EDB所成的角；
（3）若正方體的棱長(zhǎng)為a，求三棱錐A-EDB的體積．
[文]若數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，記f（n）=（1-a₁）（1-a₂）…（1-a_n）．
（1）計(jì)算f（1），f（2），f（3）的值；
（2）由（1）推測(cè)f（n）的表達(dá)式；
（3）證明（2）中你的結(jié)論．

Answer 1

[理]解：（1）設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，
則，，
∵，
∴，又DE∩DB=D，
∴HC₁⊥平面EDB．
（2），
設(shè)與所成的角為θ，

∴θ=45°．
由（1）知HC₁⊥平面EDB，
∴∠C₁BH為BC₁與平面EDB所成的角．
∠C₁BH=90°-45°=45°．
（3）
[文]解：（1）a₁=，a₂=，a₃=，a₄=，f（2）=（1-a₁）（1-a₂）=，
f（3）=（1-a₁）（1-a₂）（1-a₃）=，f（4）=（1-a₁）（1-a₂）（1-a₃）（1-a₄）=，
（2）故猜想f（n）=
（3）證明：


…


將上述n個(gè)因式相乘得：
即f（n）=
分析：[理]（1）由向量的數(shù)量積可得，可得HC₁⊥DE，HC₁⊥DB，即由線線垂直得到線面垂直．
（2）由題意得面EDB的垂線是BC₁，即平面的法向量，進(jìn)而求與所成的角θ即可．
（3）由于三棱錐A-EDB的體積不易求出，把三棱錐換一個(gè)頂點(diǎn)求三棱錐E-ABD的體積，高是AA₁，底面為S_△ABD
[文]（1）將1，2，3分別代入數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式計(jì)算f（1），f（2），f（3）的值即可．
（2）f（2）=，f（3）=，f（4）=，可以發(fā)現(xiàn)n與函數(shù)f（n）的關(guān)系f（n）的表示式．
（3）防寫出所求的式子的類似的式子，把所寫出的式子相乘，化簡(jiǎn)整理得到所寫出的結(jié)果，結(jié)論正確．
點(diǎn)評(píng)：本題是兩個(gè)題目，一個(gè)適合文科做，一個(gè)適合理科做，第一個(gè)題目解題的關(guān)鍵是建立坐標(biāo)系，在坐標(biāo)系里解決立體幾何題目，第二個(gè)題目是猜測(cè)證明的一個(gè)過(guò)程，注意根據(jù)所給的幾項(xiàng)的值寫出數(shù)列的通項(xiàng)，并且加以證明．