Question

（2012•貴陽模擬）設(shè)C₁是以F為焦點(diǎn)的拋物線y²=2px（p＞0），C₂是以直線2x-

3

y=0與2x+

3

y=0為漸近線，以(0，  

7

)為一個焦點(diǎn)的雙曲線．
（1）求雙曲線C₂的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若C₁與C₂在第一象限內(nèi)有兩個公共點(diǎn)A和B，求p的取值范圍，并求

FA•

FB

的最大值； 
（3）若△FAB的面積S滿足S=

2

3

FA

•

FB

，求p的值．

Answer 1

分析：（1）設(shè)雙曲線C₂的標(biāo)準(zhǔn)方程，利用C₂是以直線2x-

3

y=0與2x+

3

y=0為漸近線，以(0，  

7

)為一個焦點(diǎn)的雙曲線，及a²+b²=c²，即可求得雙曲線C₂的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）將拋物線y²=2px代入

y2

4

-

x2

3

=1，整理可得2x²-3px+6=0，根據(jù)C₁與C₂在第一象限內(nèi)有兩個公共點(diǎn)A和B，即可確定p的取值范圍，從而求出

FA•

FB

的最大值； 
（3）直線AB的方程為y-y1=

y2-y1

x2-x1

（x-x₁），求出F到直線AB的距離，從而可求面積S，根據(jù)S=

2

3

FA

•

FB

，建立方程，即可求得結(jié)論．

解答：解：（1）設(shè)雙曲線C₂的標(biāo)準(zhǔn)方程為

y2

a2

-

x2

b2

=1(a＞0，b＞0)
∵C₂是以直線2x-

3

y=0與2x+

3

y=0為漸近線，以(0，  

7

)為一個焦點(diǎn)的雙曲線．
∴

a b = 2 3 c= 7

，
∵a²+b²=c²，
∴a=2，b=

3

∴雙曲線C₂的標(biāo)準(zhǔn)方程為

y2

4

-

x2

3

=1；
（2）將拋物線y²=2px代入

y2

4

-

x2

3

=1，整理可得2x²-3px+6=0
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁＞0，y₁＞0，x₂＞0，y₂＞0），則

△=9p2-48＞0 3p 2 ＞0

∴p＞

4 3

3

∵

FA•

FB

=(x1-

p

2

)(x2-

p

2

)+y₁y₂=-

1

2

p2+2

3

p+3=-

1

2

(p-2

3

)2+9≤9
∴當(dāng)且僅當(dāng)p=2

3

時，

FA•

FB

的最大值為9；
（3）直線AB的方程為y-y1=

y2-y1

x2-x1

（x-x₁），即

y2-y1

x2-x1

x-y-

y2-y1

x2-x1

×x₁+y₁=0
∴F到直線AB的距離為d=

|-y1(x2-x1)-(y2-y1)( p 2 -x1)|

(x2-x1)2+(y2-y1)2

∴S=

1

2

|AB|d=

1

2

|-y1(x2-x1)-(y2-y1)(

p

2

-x1)|=

1

4

(2

3

+p)

3p2-4 3 p

∵S=

2

3

FA

•

FB

，
∴

2

3

（-

1

2

p2+2

3

p+3）=

1

4

(2

3

+p)

3p2-4 3 p

∴p=2

3

．

點(diǎn)評：本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查拋物線與雙曲線的位置關(guān)系，考查三角形面積的計(jì)算，綜合性強(qiáng)，難度大．