Question

已知0≤x≤2，若不等式a≤4^x-3×2^x-4恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是

(-∞，-

25

4

]

．

Answer 1

分析：先將不等式恒成立問題轉化為求函數(shù)f（x）=4^x-3×2^x-4，的最小值問題，再利用換元法設t=2^x，將問題轉化為求關于t的二次函數(shù)的最值問題，最后利用配方法求其最小值即可

解答：解：令f（x）=4^x-3×2^x-4，設t=2^x，則1≤t≤4
則f（x）=g（t）=t²-3t-4=（t-

3

2

）²-

25

4

，（1≤t≤4）
∴當t=

3

2

時，g（t）取最小值-

25

4

即f（x）=4^x-3×2^x-4的最小值為-

25

4

若不等式a≤4^x-3×2^x-4恒成立，只需a小于或等于f（x）的最小值，
∴a≤-

25

4

故答案為(-∞，-

25

4

]

點評：本題主要考查了不等式恒成立問題的一般解法，換元法求復合函數(shù)的值域，指數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)的圖象和性質，屬基礎題