Question

已知函數，．

（1）若函數存在單調遞減區(qū)間，求的取值范圍；

（2）當時，試討論這兩個函數圖象的交點個數．

 

Answer 1

（1）；（2）當，的圖象無交點,當，的圖象有且僅有一個交點，當，的圖象有且僅有兩個交點．

【解析】

試題分析：（1）利用函數的單調性與導數的關系，若可導函數在指定的區(qū)間上單調遞增（減），求參數問題，可轉化為恒成立，從而構建不等式，要注意“=”是否可以取到；（2）解決類似的問題時，注意區(qū)分函數的最值和極值．求函數的最值時，要先求函數在區(qū)間內使的點，再計算函數在區(qū)間內所有使的點和區(qū)間端點處的函數值，最后比較即得．（3）分類討論是學生在學習過程中的難點，要找好臨界條件進行討論．（4）利用兩個函數交點的個數判斷函數的零點個數

試題解析：【解析】
（1）

若使存在單調遞減區(qū)間，則在上有解

而當時，問題轉化為

在上有解，故大于函數在的最小值

又在上的最小值為-1，所以

令

函數與的交點個數即為函數的零點的個數

令，解得

隨著的變化，的變化情況如表：

①當，即時，恒大于0，函數無零點．

②當，即時,由上表，函數有且僅有一個零點

③，即，顯然

，所以

又在內單調遞減，

所以在內有且僅有一個零點

當時，

由指數函數與冪函數的增長速度的快慢，知存在

使得，從而

因而

又在內單調遞增，

在上的圖象是連續(xù)不斷的曲線，

所以在內有且僅有一個零點

因此，使，有且僅有兩個零點；

綜上，當，的圖象無交點

當，的圖象有且僅有一個交點

當，的圖象有且僅有兩個交點

考點：（1）利用函數的單調區(qū)間求參數的取值范圍；（2）求函數的最值；（3）函數零點的個數