Question

若 x+2y+4z=1，則 x²+y²+z²的最小值是

 

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Answer 1

分析：x²+y²+z²的值可看作空間中的點(diǎn)（x，y，z）到原點(diǎn)的距離，這樣的點(diǎn)在以原點(diǎn)為球心的球面上，x+2y+4z=1表示一個平面，x²+y²+z²的最小值是球與此平面相切時切點(diǎn)與原點(diǎn)的距離平方，即原點(diǎn)到此平面的距離的平方，由此 x²+y²+z²的最小值易求得

解答：解：由題意 x+2y+4z=1表示一個平面，x²+y²+z²的值表示空間中的點(diǎn)（x，y，z）到原點(diǎn)的距離，這樣的點(diǎn)在以原點(diǎn)為球心的球面上，
∴x²+y²+z²的最小值是球與此平面相切時切點(diǎn)與原點(diǎn)的距離平方，即原點(diǎn)到此平面的距離的平方，
又原點(diǎn)到平面x+2y+4z=1的距離是d=

|0×1+2×0+4×0-1|

12+22+42

=

1 21

綜上可得 x²+y²+z²的最小值是

1

21

故答案為：

1

21

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點(diǎn)評：本題考查空間中點(diǎn)的坐標(biāo)，解題的關(guān)鍵是理解x+2y+4z=1，與 x²+y²+z²的幾何意義，利用幾何意義將問題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到面的距離求解，本題考查了數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化思想．