Question

5．已知雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，兩個(gè)頂點(diǎn)A₁，A₂間的距離為2，焦點(diǎn)到漸近線的距離為$\sqrt{2}$．
（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)雙曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為M（異于兩個(gè)頂點(diǎn)），直線MA₁和MA₂的斜率分別是k₁，k₂．求k₁k₂的值．

Answer 1

分析 （1）由題意可得雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0），a=1．根據(jù)焦點(diǎn)（$\sqrt{{1+b}^{2}}$，0）到漸近線y=bx的距離為$\sqrt{2}$，求得b的值，可得雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y），則有 x²-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1．再根據(jù)直線MA₁和MA₂的斜率分別是k₁=$\frac{y}{x+1}$、k₂=$\frac{y}{x-1}$，化簡k₁k₂可得結(jié)果．

解答 解：（1）根據(jù)雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，兩個(gè)頂點(diǎn)A₁，A₂間的距離為2，焦點(diǎn)到漸近線的距離為$\sqrt{2}$，
可得雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0），a=1，
根據(jù)焦點(diǎn)（$\sqrt{{1+b}^{2}}$，0），到漸近線y=bx的距離為$\sqrt{2}$可得$\frac{|b•\sqrt{{1+b}^{2}}-0|}{\sqrt{{1+b}^{2}}}$=$\sqrt{2}$，求得b=$\sqrt{2}$，
∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 x²-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1．
（2）由題意可得A₁（-1，0），A₂（1，0），設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y），則有 x²-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1，即 y²=2（x²-1）．
直線MA₁和MA₂的斜率分別是k₁=$\frac{y}{x+1}$，k₂=$\frac{y}{x-1}$，可得k₁k₂=$\frac{{y}^{2}}{{x}^{2}-1}$=-2．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查雙曲線的定義、性質(zhì)、標(biāo)準(zhǔn)方程，直線的斜率公式，點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，屬于中檔題．