Question

如圖，在△ABC中，∠ABC=60°，∠BAC=90°，AD是BC上的高，沿AD把△ABC折起，使∠BDC=60°．
（1）證明：平面ADB⊥平面BDC；
（2）設(shè)E為BC的中點，求異面直線AE與DB所成角的大小．

Answer 1

解：（1）∵折起前AD是BC邊上的高，
∴當(dāng)△ABD折起后，AD⊥DC，AD⊥DB，
又DB∩DC=D，∴AD⊥平面BDC，
∵AD?平面ABD，
∴平面ADB⊥平面BDC；
（2）取DC中點F，連接EF，則EF∥BD，
∴∠AEF為異面直線AE與BD所成的角（或其補角），
連接AF，DE，設(shè)BD=2，則EF=1，AD=2，DC=6，DF=3，
在△BDC中，BC²=BD²+DC²-2BD•DCcos∠BDC=28，
cos∠DBC==-，BE=BC=，
在△BDE中，DE²=BD²+BE²-2BDBEcos∠DBC=13，
在Rt△ADE中，AE==5，
在Rt△ADF中，AF==，
在△AEF中，cos∠AEF==，
所以異面直線AE與DB所成角為60°；
分析：（1）已知在△ABC中，AD是BC上的高，沿AD把△ABC折起，使∠BDC=60°，可得AD⊥DC，AD⊥DB，根據(jù)面面垂直的判定定理進(jìn)行求解；
（2）作輔助線，取DC中點F，連接EF，則EF∥BD，可得∠AEF為異面直線AE與BD所成的角，再根據(jù)余弦定理和向量公式進(jìn)行求解；
點評：此題主要考查面面垂直和異面直線夾角公式的求法，第二問解題的關(guān)鍵是作出輔助線，此題是一道中檔題，也是高考必考題；