Question

16、定義在R上的偶函數(shù)f（x），滿足以f（x+2）=-f（x）且在[0，2]上是減函數(shù)，若方程f（x）=m（m＞0）在區(qū)間[-2，6]上有四個(gè)不同的根x₁，x₂，x₃，x₄，則x₁+x₂+x₃+x₄=

4

．

Answer 1

分析：通過函數(shù)為偶函數(shù)及f（x+2）=-f（x）推斷出函數(shù)為周期函數(shù)．根據(jù)對稱性畫出函數(shù)的示意圖，根據(jù)函數(shù)圖象即可得出答案．

解答：解：∵f（x）是偶函數(shù)
∴f（-x）=-f（-x+2）=-f（x-2）=f（x）=-f（x+2）
即f（x-2）=f（x+2）=f（x-2+4）
即 f（x）=f（x+4）
∴f（x）是一個(gè)周期函數(shù)，周期為4
∴f（x）關(guān)于y軸對稱．
由f（x）在[0，2]上是減函數(shù)，設(shè)x₁＜x₂＜x₃＜x₄
可做函數(shù)圖象示意圖如下
∵f（x）是偶函數(shù)
∴函數(shù)關(guān)于y軸對稱
x₁+x_2⁼⁰
又∵f（x）是一個(gè)周期函數(shù)，周期為4
∴函數(shù)關(guān)于x=4軸對稱
∴x₃+x_4⁼⁸
∴x₁+x₂+x₃+x_4⁼⁴
故答案為：9．

點(diǎn)評：本題綜合考查了函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性，對稱性，周期性，以及由函數(shù)圖象解答方程問題，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想和函數(shù)與方程的思想解答問題．