Question

在趣味投籃比賽中，每名選手在兩種比賽規(guī)則中選擇一種：（1）每場6個球，至少投進4個球且最后2個球都投進者獲獎金30元，否則不獲獎；（2）每場最多投6個球，若4個球為連續(xù)投進（進四球則比賽結(jié)束），則獲獎金50元，否則不獲獎．已知甲投投進每個球的概率都是

2

3

．
（1）若甲獲獎即可，請幫助甲選擇比賽規(guī)則，說明理由；
（2）若甲所在小組共有5人，均按照甲所選擇的規(guī)則投籃，且5人投籃水平相當，則甲應(yīng)該選擇哪種規(guī)則，該小組所獲獎期望較多？說明理由．

Answer 1

分析：（1）設(shè)甲選擇法則一，則他在一場比賽中獲獎記為事件A，求出P（A），若甲選擇法則二，則他在一場比賽中獲獎記為事件B，求出P（B），根據(jù)P（A）＞P（B），得出結(jié)論．
（2）若甲小組選擇法則一，求出獲獎金的期望，若甲小組選擇法則二，再求出所獲獎金的期望，比較這兩個獎金期望的值的大小，確定哪種規(guī)則．

解答：解：（1）設(shè)甲選擇法則一，則他在一場比賽中獲獎記為事件A，則P（A）=

C

2 4

•(

1

3

)2•(

2

3

)4+

C

1 4

•

1

3

•(

2

3

)5+(

2

3

)6=

32

81

．
若甲選擇法則二，則他在一場比賽中獲獎記為事件B，則P（B）=(

2

3

)4+

1

3

• (

2

3

)4+(

1

3

)2•(

2

3

)4=

208

729

．
∵

32

81

＞

208

729

，故甲應(yīng)選擇法則一．
（2）若甲小組選擇法則一，設(shè)獲獎人數(shù)為ξ，則ξ～B（5，

32

81

），該小組所獲獎期望為 Eξ=5×

32

81

=

160

81

，所獲獎金的期望為30×

160

81

=

4800

81

．
若甲小組選擇法則二，η，則η～B（5，

208

729

），Eη=5×

208

729

=

1040

729

，所獲獎金的期望為50×

1040

729

=

52000

729

．
由于

4800

81

＜

52000

729

，故甲小組應(yīng)選擇法則二．

點評：本題主要考查n次獨立重復(fù)實驗中恰好發(fā)生k次的概率，，服從二項分布的隨機變量的期望的求法，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．