Question

19．已知變量x，y滿足$\left\{\begin{array}{l}x-4y+3≤0\\ x+y-4≤0\\ x≥1\end{array}\right.$，則 $\frac{xy}{{{x^2}+{y^2}}}$的取值范圍為$[\frac{3}{10}，\frac{1}{2}]$．

Answer 1

分析 由約束條件作出可行域，求出$\frac{y}{x}$的取值范圍，把 $\frac{xy}{{{x^2}+{y^2}}}$化為含$\frac{y}{x}$的代數式后換元，再利用“對勾函數”的單調性求得最值，則答案可求．

解答 解：由約束條件$\left\{\begin{array}{l}x-4y+3≤0\\ x+y-4≤0\\ x≥1\end{array}\right.$作出可行域如圖，

聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x+y-4=0}\\{x-4y+3=0}\end{array}\right.$，解得A（$\frac{13}{5}，\frac{7}{5}$），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{x+y-4=0}\end{array}\right.$，解得B（1，3）．
∴$\frac{y}{x}$的取值范圍是[$\frac{7}{13}，3$]．
 z=$\frac{xy}{{{x^2}+{y^2}}}$=$\frac{\frac{y}{x}}{1+（\frac{y}{x}）^{2}}$，
令$\frac{y}{x}=t$（$\frac{7}{13}≤t≤3$），
則z=$\frac{t}{1+{t}^{2}}=\frac{1}{\frac{1}{t}+t}$，當t=1時，z有最大值為$\frac{1}{2}$；
當t=3時，z有最小值為$\frac{3}{10}$．
∴$\frac{xy}{{{x^2}+{y^2}}}$的取值范圍為$[\frac{3}{10}，\frac{1}{2}]$，
故答案為：$[\frac{3}{10}，\frac{1}{2}]$．

點評 本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查數形結合的數學思想方法和數學轉化思想方法，是中檔題．