Question

（本小題滿分12分）

如圖，三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，AA₁⊥面ABC，BC⊥AC，BC=AC=2，AA₁=3，D為AC的中點(diǎn).

   （Ⅰ）求證：AB₁//面BDC₁；

　 （Ⅱ）求二面角C₁—BD—C的余弦值；

   （Ⅲ）在側(cè)棱AA­₁上是否存在點(diǎn)P，使得

CP⊥面BDC₁？并證明你的結(jié)論.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 

（Ⅰ）略

（Ⅱ）

（Ⅲ）略

【解析】（I）證明：

          連接B₁C，與BC₁相交于O，連接OD

          ∵BCC₁B₁是矩形，

∴O是B₁C的中點(diǎn).

又D是AC的中點(diǎn)，

∴OD//AB₁.………………………………………………2分

∵AB_­1面BDC_­1，OD面BDC₁，

∴AB₁//面BDC₁.…………………………………………4分

   （II）解：如力，建立空間直角坐標(biāo)系，則

         C₁（0，0，0），B（0，3，2），C（0，3，0），A（2，3，0），

         D（1，3，0）……………………5分

         設(shè)=（x₁，y₁，z₁）是面BDC₁的一個(gè)法向量，則

即.…………6分

易知=(0，3，0)是面ABC的一個(gè)法向量.

.…………………………8分

∴二面角C₁—BD—C的余弦值為.………………………………9分

   （III）假設(shè)側(cè)棱AA₁上存在一點(diǎn)P（2，y，0）（0≤y≤3），使得CP⊥面BDC₁.

         則

          ∴方程組無解.

∴假設(shè)不成立.

∴側(cè)棱AA₁上不存在點(diǎn)P，使CP⊥面BDC₁.……………14分