Question

已知f（x）是定義在（0，+∞）上的增函數(shù)，且對(duì)任意正數(shù)x，y都有f（xy）=f（x）+f（y），若f（3）=1，集合A={x|f（x）＞f（x-1）+2}，集合B={x|f（x-2a+1）＞1，a∈R}，A∩B=∅，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：交集及其運(yùn)算

專題：集合

分析：由已知條件推導(dǎo)出A={x|1＜x＜

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}，B={x|x＞2a+2，a∈R}，由A∩B=∅，得2a+2≥

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，由此能求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：∵f（xy）=f（x）+f（y），又f（3）=1，
∴2=f（3）+f（3）=f（9），
∵f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，
A={x|f（x）＞f（x-1）+3}={x|f（x）＞f9x-1）+f（9）}
={x|f（x）＞f（9（x-1））}={x|

x＞9(x-1) x＞0 x-1＞0

}={x|1＜x＜

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}，
B={x|f（x-2a+1）＞f93），a∈R}
={x|x-2a+1＞3，a∈R}
={x|x＞2a+2，a∈R}，
∵A∩B=∅，
∴2a+2≥

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，解得a≥-

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，
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是[-

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，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．