Question

4．已知函數(shù)f（x）=log_a（x-b）（其中a，b為常數(shù)，a＞0且a≠1）的圖象經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)M（3，0），N（6，1）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）若函數(shù)g（x）=（$\frac{a}$）^2x-6（$\frac{a}$）^x+5，x∈[1，3]，求g（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）由代入法求解函數(shù)解析式；
（2）是指數(shù)函數(shù)與二次函數(shù)的復(fù)合，轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)的最值問(wèn)題即可．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=log_a（x-b）（其中a，b為常數(shù)，a＞0且a≠1）的圖象經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)M（3，0），N（6，1）．
∴f（3）=0，f（6）=1，
∴l(xiāng)og_a（3-b）=0，log_a（6-b）=1
∴a=4，b=2，
∴f（x）=log₂（x-2）
（2）g（x）=2^2x-6•2^x+5，x∈[1，3]，
設(shè)t=2^x，則t∈[2，8]，g（t）=t²-6t+5=（t-3）²-4
∴函數(shù)g（t）在[2，3]上單調(diào)遞減，在[3，8]上單調(diào)遞增．
∴t=3時(shí)，g（t）有最小值-4，t=8時(shí)，g（t）有最大值21，
∴g（x）的值域?yàn)閇-4，21]．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查指數(shù)函數(shù)與二次函數(shù)的復(fù)合，從而轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)的最值問(wèn)題，難度不大，是一道基礎(chǔ)題目．