Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且（a-1）S_n=a（a_n-1）（a＞0）（n∈N^*）．
（Ⅰ）求證數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，并求a_n；
（Ⅱ）已知集合A={x|x²+a≤（a+1）x}，問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)a，使得對(duì)于任意的n∈N^*
都有S_n∈A？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先由條件構(gòu)造等式（a-1）S_n-1=a（a_n-1-1） 與已知條件作差求出數(shù)列{a_n}的遞推公式，再對(duì)數(shù)列{a_n}的遞推公式變形即可證數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，再代入等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求出a_n；
（Ⅱ）先對(duì)a分情況討論分別求出對(duì)應(yīng)的集合A和S_n，再分別看是否滿足對(duì)于任意的n∈N^*都有S_n∈A．進(jìn)而求出a的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）當(dāng)n=1時(shí)，∵（a-1）S₁=a（a₁-1），∴a₁=a（a＞0）（1分）
n≥2時(shí)，由（a-1）S_n=a（a_n-1）（a＞0）
得（a-1）S_n-1=a（a_n-1-1）
∴（a-1）a_n=a（a_n-a_n-1），變形得：=a（n≥2）（4分）
故{a_n}是以a₁=a為首項(xiàng)，公比為a的等比數(shù)列，∴a_n=aⁿ（6分）
（Ⅱ）（1）當(dāng)a=1時(shí)，A={1}，S_n=n，只有n=1時(shí)S_n∈A，
∴a=1不適合題意（7分）
（2）a＞1時(shí)，A={x|1≤x≤a}，S₂=a+a²＞a，∴S₂∉A，
即當(dāng)a＞1時(shí)，不存在滿足條件的實(shí)數(shù)a（9分）
（3）當(dāng)0＜a＜1時(shí)，A={x|a≤x≤1}
而S_n=a+a²+…aⁿ=
因此對(duì)任意的n∈N^*，要使S_n∈A，
只需0＜a＜1，解得0＜a≤（11分）
綜上得實(shí)數(shù)a的范圍是（0，]．（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題第二問(wèn)涉及到一元二次不等式的解法．在解一元二次不等式時(shí)，由于不等式的解集有對(duì)應(yīng)方程的根決定，所以要先求對(duì)應(yīng)方程的根，在根據(jù)根的大小以及開(kāi)口方向?qū)懗鼋饧�，�?dāng)不確定兩個(gè)根的大小時(shí)，一定要分情況討論．