Question

1．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別為橢圓的左右焦點，A，B分別為橢圓的左右頂點，點P為橢圓上異于A，B的動點．
（1）求證：直線PA、PB的斜率之積為定值；
（2）設(shè)D（1，0），求|PD|的最小值．

Answer 1

分析 （1）求得橢圓的a，可得A，B的坐標(biāo)，設(shè)P（m，n），運用橢圓方程和斜率公式，化簡整理，即可得到定值；
（2）設(shè)出P的坐標(biāo)，運用橢圓方程和兩點的距離公式，結(jié)合二次函數(shù)的最值求法，即可得到最小值．

解答 解：（1）證明：橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$的a=2$\sqrt{2}$，
可得A（-2$\sqrt{2}$，0），B（2$\sqrt{2}$，0），設(shè)P（m，n），
即有$\frac{{m}^{2}}{8}$+$\frac{{n}^{2}}{4}$=1，n²=4（1-$\frac{{m}^{2}}{8}$），
k_PA•k_PB=$\frac{n}{m+2\sqrt{2}}$•$\frac{n}{m-2\sqrt{2}}$=$\frac{{n}^{2}}{{m}^{2}-8}$
=$\frac{8-{m}^{2}}{2}$•$\frac{1}{{m}^{2}-8}$=-$\frac{1}{2}$，
即有直線PA、PB的斜率之積為定值-$\frac{1}{2}$；
（2）設(shè)P（m，n），即有$\frac{{m}^{2}}{8}$+$\frac{{n}^{2}}{4}$=1，n²=4（1-$\frac{{m}^{2}}{8}$），
則|PD|=$\sqrt{（m-1）^{2}+{n}^{2}}$=$\sqrt{{m}^{2}-2m+1+4-\frac{1}{2}{m}^{2}}$
=$\sqrt{\frac{1}{2}{m}^{2}-2m+5}$=$\sqrt{\frac{1}{2}（m-2）^{2}+3}$，（-2$\sqrt{2}$＜m＜2$\sqrt{2}$），
當(dāng)m=2時，|PD|取得最小值，且為$\sqrt{3}$．

點評 本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，考查直線的斜率公式的運用，以及兩點的距離公式，同時考查二次函數(shù)的最值的求法，屬于中檔題．