Question

3．設(shè)二次函數(shù)f（x）=x²+ax+a．
（1）若方程f（x）-x=0的兩實根x₁和x₂滿足0＜x₁＜x₂＜1．求實數(shù)a的取值范圍．
（2）求函數(shù)g（x）=af（x）-a²（x+1）-2x在區(qū)間[0，1]上的最小值．

Answer 1

分析 （1）令m（x）=f（x）-x=x²+（a-1）x+a．利用已知條件，通過二次函數(shù)的對稱軸，函數(shù)值列出不等式組，求解a的范圍即可．
（2）g（x）=ax²-2x，通過①當a=0時，②當a＞0時，若$\frac{1}{a}≤1即a≥1$，若$\frac{1}{a}＞1即0＜a＜1$，③當a＜0時，判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后求解函數(shù)的最小值．

解答 （本小題10分）   解：（1）令m（x）=f（x）-x=x²+（a-1）x+a．
依題意，$\left\{{\begin{array}{l}{△＞0}\\{0＜\frac{1-a}{2}＜1}\\{m（1）＞0}\\{m（0）＞0}\end{array}}\right.$得$0＜a＜3-2\sqrt{2}$，故實數(shù)a的取值范圍為 $（0，3-2\sqrt{2}）$．
（2）g（x）=ax²-2x
①當a=0時，g（x）=-2x在[0，1]上遞減，∴g（x）_min=g（1）=-2．
②當a＞0時，函數(shù)$g（x）=a{（x-\frac{1}{a}）^2}-\frac{1}{a}$圖象的開口方向向上，且對稱軸為$x=\frac{1}{a}＞0$．
若$\frac{1}{a}≤1即a≥1$，函數(shù)g（x）在$[0，\frac{1}{a}]$上遞減，在$[\frac{1}{a}，1]$上遞增．∴$g{（x）_{min}}=g（\frac{1}{a}）=-\frac{1}{a}$．
若$\frac{1}{a}＞1即0＜a＜1$，函數(shù)g（x）在[0，1]上遞減．∴g（x）_min=g（1）=a-2．
③當a＜0時，函數(shù)$g（x）=a{（x-\frac{1}{a}）^2}-\frac{1}{a}$的圖象的開口方向向下，且對稱軸$x=\frac{1}{a}＜0$，g（x）在[0，1]上遞減，∴g（x）_min=g（1）=a-2
綜上所述，$g{（x）_{min}}=\left\{{\begin{array}{l}{a-2（a＜1）}\\{-\frac{1}{a}（a≥1）}\end{array}}\right.$

點評 本題考查二次函數(shù)的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，函數(shù)的零點問題的處理方法，考查分類討論思想以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．