Question

設(shè)正項(xiàng)數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，它的前n項(xiàng)和為S_n，a₁=1，且a₁+S₂=a₃．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）已知{

bn

an

}是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由已知條件，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出公比，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（Ⅱ）由已知條件結(jié)合（Ⅰ）得到bn=(2n-1)•2n-1，由此利用錯(cuò)位相減法能求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)在等比數(shù)列{a_n}中，公比為q，
∵a₁=1，a₁+S₂=a₃，∴2a₁+a₂=a₃，
∴2a1+a1q=a1q2，
即2+q=q²，…（2分）
解得q=2或q=-1（舍）…（4分）
所以an=2n-1…（6分）
（Ⅱ）∵{

bn

an

}是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，
∴

bn

an

=2n-1，
∵an=2n-1，
∴bn=(2n-1)•2n-1．…（7分）
∵T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n
∴Tn=1•1+3•2+5•22+…+(2n-1)•2n-1①…（9分）
2Tn=1•2+3•22+5•23+…+(2n-1)•2n②…（10分）
②-①，得Tn=-1-2•[2+22+…+2n-1]+(2n-1)•2n
=-1+4（1-2^n-1）+（2n-1）•2ⁿ
=（2n-3）•2ⁿ+3…（12分）

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和，是中檔題，解題時(shí)要注意裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．