Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），過焦點垂直于長軸的弦長為

2

，焦點與短軸兩端點構(gòu)成等腰直角三角形．
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（Ⅱ）過點P（-2，0）作直線l與橢圓C交于A、B兩點，求△AF₁B的面積的最大值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）利用過焦點垂直于長軸的弦長為

2

，焦點與短軸兩端點構(gòu)成等腰直角三角形，建立等式，求出a，b，可得橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（Ⅱ）設(shè)直線l：my=x+2（m≠0），代入橢圓方程，表示出△AF₁B的面積，利用基本不等式，即可求出△AF₁B的面積的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）∵過焦點垂直于長軸的弦長為

2

，焦點與短軸兩端點構(gòu)成等腰直角三角形，
∴b=c，

2b2

a

=

2

，
∴a=

2

，b=1，
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

2

+y2=1．
（Ⅱ）設(shè)直線l：my=x+2（m≠0），代入橢圓方程可得（m²+2）y²-4my+2=0，
△=（4m）²-8（m²+2）＞0，可得m²＞2，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y₁+y₂=

4m

m2+2

，y₁•y₂=

2

m2+2

，
∴△AF₁B的面積為S△PF1B-S△PF1A=

1

2

|PF₁||y₂-y₁|=

1

2

|y₂-y₁|，
|y₂-y₁|=

( 4m m2+2 )2- 8 m2+2

=2

2(m2-2) (m2+2)2

=2

2 (m2-2)+ 16 m2-2 +8

≤2

2 8+8

=

2

2

，
當(dāng)且僅當(dāng)m²=6時，取等號，滿足m²＞2，
∴△AF₁B的面積的最大值為

1

2

•

2

2

=

2

4

．

點評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查三角形面積的計算，考查韋達(dá)定理，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．