Question

如圖，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D是BC的中點(diǎn)，AA₁=AB=1．
（I）求證：A₁C∥平面AB₁D；
（II）求二面角B-AB₁-D的大�。�

Answer 1

分析：（I）欲證A₁C∥平面AB₁D，根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知只需證MN與平面A₁ABB₁內(nèi)一直線平行，連接A₁B，設(shè)A₁B∩AB₁=E，連接DE，根據(jù)中位線定理可知DE∥A₁C，DE?平面AB₁D，A₁C?平面AB₁D，滿足定理所需條件；
（II）作DF⊥AB于點(diǎn)F，作FG⊥AB₁于點(diǎn)G，連接DG，根據(jù)二面角平面角的定義可知∠FGD是二面角B-AB₁-D的平面角，
在Rt△DFG中，求出二面角B-AB₁-D的大小即可．

解答：（I）證明：
連接A₁B，設(shè)A₁B∩AB₁=E，連接DE．
∵ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱，且AA₁=AB，
∴四邊形A₁ABB₁是正方形，
∴E是A₁B的中點(diǎn)，
又D是BC的中點(diǎn)，
∴DE∥A₁C．
∵DE?平面AB₁D，A₁C?平面AB₁D，
∴A₁C∥平面AB₁D．

（II）解：在面ABC內(nèi)作DF⊥AB于點(diǎn)F，在面A₁ABB₁內(nèi)作FG⊥AB₁于點(diǎn)G，連接DG．
∵平面A₁ABB₁⊥平面ABC，∴DF⊥平面A₁ABB₁，
∴FG是DG在平面A₁ABB₁上的射影，∵FG⊥AB₁，∴DG⊥AB₁
∴∠FGD是二面角B-AB₁-D的平面角
設(shè)A₁A=AB=1，在正△ABC中，DF=

3

4

．
在△ABE中，FG=

3

4

•BE=

3 2

8

，
在Rt△DFG中，tanFGD=

DF

FG

=

6

3

，
所以，二面角B-AB₁-D的大小為arctan

6

3

．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查直線與平面的位置關(guān)系、二面角及其平面角等有關(guān)知識(shí)，考查空間想象能力和思維能力，屬于中檔題．