Question

如圖所示，P是拋物線C：y=

1

2

x²上一點，直線l過點P并與拋物線C在點P的切線垂直，l與拋物線C相交于另一點Q，當點P在拋物線C上移動時，求線段PQ的中點M的軌跡方程，并求點M到x軸的最短距離．

Answer 1

設P（x₀，y₀），則y₀=

1

2

x02，
∴過點P的切線斜率k=x₀，
當x₀=0時不合題意，∴x₀≠0．
∴直線l的斜率k_l=-

1

k

=-

1

x0

，
∴直線l的方程為y-

1

2

x02=-

1

x0

(x-x0)．
此式與y=

1

2

x2聯(lián)立消去y得
x²+

2

x0

x-

1

2

x02-2=0
設Q（x₁，y₁），M（x，y）．
∵M是PQ的中點，
∴

x= x0+x1 2 =- 1 x0 y=- 1 x0 (- 1 x0 -x0)+ 1 2 x02= 1 x 20 + x 20 2 +1

消去x₀，得y=x²+

1

2x2

+1（x≠0）就是所求的軌跡方程．
由x≠0知x²＞0，
∴y=x²+

1

2x2

+1≥2

x2• 1 2x2

+1=

2

+1
上式等號僅當x²=

1

2x2

，即x=±

4	1 2

時成立，
所以點M到x軸的最短距離是

2

+1．