Question

12．已知在△ABC中，∠ACB=$\frac{π}{2}$，AB=2BC，現(xiàn)將△ABC繞BC所在直線旋轉(zhuǎn)到△PBC，設二面角P-BC-A大小為θ，PB與平面ABC所成角為α，PC與平面PAB所成角為β，若0＜θ＜π，則（　�。�

• A． $α≤\frac{π}{3}$且$sinβ≤\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• B． $α≤\frac{π}{3}$且$sinβ＜\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• C． $α≤\frac{π}{6}$且$β≥\frac{π}{3}$
• D． $α≤\frac{π}{6}$且$β＜\frac{π}{3}$

Answer 1

分析 可設BC=a，可得AB=PB=2a，AC=CP=$\sqrt{3}$a，過C作CH⊥平面PAB，連接HB，則PC與平面PAB所成角為β=∠CPH，由CH＜CB，可得sinβ的范圍；由二面角的定義，可得二面角P-BC-A大小為θ，即為∠ACP，設P到平面ABC的距離為d，根據(jù)等積法和正弦函數(shù)的定義和性質(zhì)，即可得到PB與平面ABC所成角α的范圍．

解答 解：在△ABC中，∠ACB=$\frac{π}{2}$，AB=2BC，
可設BC=a，可得AB=PB=2a，AC=CP=$\sqrt{3}$a，
過C作CH⊥平面PAB，連接HB，
則PC與平面PAB所成角為β=∠CPH，
且CH＜CB=a，
sinβ=$\frac{CH}{CP}$＜$\frac{a}{\sqrt{3}a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
由BC⊥AC，BC⊥CP，
可得二面角P-BC-A大小為θ，即為∠ACP，
設P到平面ABC的距離為d，
由BC⊥平面PAC，
且V_B-ACP=V_P-ABC，
即有$\frac{1}{3}$BC•S_△ACP=$\frac{1}{3}$d•S_△ABC，
即$\frac{1}{3}$a•$\frac{1}{2}$•$\sqrt{3}$a•$\sqrt{3}$a•sinθ=$\frac{1}{3}$d•$\frac{1}{2}$•$\sqrt{3}$a•a，
解得d=$\sqrt{3}$sinθ，
則sinα=$\fracb5zb5nf{PB}$=$\frac{\sqrt{3}asinθ}{2a}$≤$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
即有α≤$\frac{π}{3}$．
故選：B．

點評 本題考查空間的二面角和線面角的求法，注意運用定義和轉(zhuǎn)化思想，以及等積法，考查運算能力，屬于中檔題．