Question

17．已知函數(shù)f（x）=x+$\frac{1}{x-a}$+$\frac{1}{x-b}$（a，b為實(shí)常數(shù)）．
（Ⅰ）若a+b=0，判斷函數(shù)f（x）的奇偶性，并加以證明；
（Ⅱ）記M=$\left\{\begin{array}{l}{a，b＜a}\\{b，b≥a}\end{array}\right.$，A=$\frac{a+b}{2}$，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍，使得方程f（x）=$\frac{λ}{x-A}$+A在區(qū)間（M，+∞）上無(wú)解．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用奇函數(shù)的定義，即可證明結(jié)論；
（Ⅱ）不妨設(shè)a≤b，則M=b，x-A＞0，方程f（x）=$\frac{λ}{x-A}$+A等價(jià)于[x-A+$\frac{2（x-A）}{（x-a）（x-b）}$]（x-A）=λ．令$\frac{b-a}{2}$=d，t=（x-A）²＞$（\frac{b-a}{2}）^{2}$=d²＞0，則$\frac{{t}^{2}+（2-kay8ppg^{2}）t}{t-grfjt3f^{2}}$=λ．令u=t-d²，則λ=u+$\frac{2ntcmke8^{2}}{u}$+2+d²≥2$\sqrt{2}$d+2+d²=$（\frac{b-a}{2}+\sqrt{2}）^{2}$，即可得出結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）易知函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．
∵a+b=0，∴$f（x）=x+\frac{1}{x-a}+\frac{1}{x+a}$$f（-x）=-x+\frac{1}{-x-a}+\frac{1}{-x+a}=-f（x）$
∴f（x）為奇函數(shù)； …（5分）
（Ⅱ）不妨設(shè)a≤b，則M=b，x-A＞0，方程f（x）=$\frac{λ}{x-A}$+A等價(jià)于[x-A+$\frac{2（x-A）}{（x-a）（x-b）}$]（x-A）=λ．
令$\frac{b-a}{2}$=d，則x-a=（x-A）=d，x-b=（x-A）+d，
∴（x-A）²[1+$\frac{2}{[（x-A）-d]•[（x-A）+d]}$=λ，
令t=（x-A）²＞$（\frac{b-a}{2}）^{2}$=d²＞0，則$\frac{{t}^{2}+（2-8vaoy9i^{2}）t}{t-ye3nau8^{2}}$=λ．
令u=t-d²，則λ=u+$\frac{2ahtmvfz^{2}}{u}$+2+d²≥2$\sqrt{2}$d+2+d²=$（\frac{b-a}{2}+\sqrt{2}）^{2}$，
當(dāng)且僅當(dāng)u=$\frac{2avkocev^{2}}{u}$，即t=$\sqrt{2}d+u3gz8ej^{2}$，x=$\frac{b+a}{2}+\frac{\sqrt{（b-a）^{2}+2\sqrt{2}（b-a）}}{2}$∈（b，+∞）時(shí)取等號(hào)，
∵方程f（x）=$\frac{λ}{x-A}$+A在區(qū)間（M，+∞）上無(wú)解，
∴λ＜$（\frac{b-a}{2}+\sqrt{2}）^{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查奇函數(shù)的定義，考查方程f（x）=$\frac{λ}{x-A}$+A在區(qū)間（M，+∞）上無(wú)解，考查學(xué)生轉(zhuǎn)化問題的能力，難度大．