Question

11．已知f（x）=sinx-$\frac{1}{2}$x（x$∈[0，\frac{π}{2}]$，則f（x）的值域為（　�。�

• A． [0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{π}{6}$]
• B． [1-$\frac{π}{4}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{π}{6}$]
• C． [0，$\frac{1}{2}$-$\frac{π}{12}$]
• D． [1-$\frac{π}{4}$，$\frac{1}{2}$-$\frac{π}{12}$]

Answer 1

分析 利用利用導(dǎo)數(shù)研究閉區(qū)間上的函數(shù)的單調(diào)性極值與最值即可得出．

解答 解：f（x）=sinx-$\frac{1}{2}$x（x$∈[0，\frac{π}{2}]$，
f′（x）=cosx-$\frac{1}{2}$，
則當(dāng)$0≤x＜\frac{π}{3}$時，f′（x）＞0，此時函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；當(dāng)$\frac{π}{3}＜x≤\frac{π}{2}$時，f′（x）＜0，此時函數(shù)f（x）單調(diào)遞減．
∴當(dāng)x=$\frac{π}{3}$時，函數(shù)f（x）取得最大值，$f（\frac{π}{3}）$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{π}{6}$．
而f（0）=0，f（$\frac{π}{2}$）=1-$\frac{π}{4}$．
∴f（x）的值域為$[0，\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{π}{6}]$．
故選：A．

點評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究閉區(qū)間上的函數(shù)的單調(diào)性極值與最值，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．