證明:
(1)連接B
1C,交BC
1于點O,
則O為B
1C的中點,∵D為AC中點,∴OD∥B
1A,又B
1A?平面BDC
1,OD⊆平面BDC
1
∴B
1A∥BDC
1 (3分)
解:(2)∵AA
1⊥平面ABC,BC⊥AC,AA
1∥CC
1,∴CC
1⊥面ABC,
則BC⊥平面AC
1,CC
1⊥AC
如圖建系,則C
1(3,0,0),B(0,0,2),D(0,1,0),C(0,0,0)
∴
設(shè)平面C
1DB的法向量為n=(x,y,z)則n=(2,6,3)
又平面BDC的法向量為
∴二面角C
1-BD-C的余弦值:
(8分)
(3)設(shè)
,
∴
又
面BDC
1,
∴
解得
所以AA
1=2,點P位置是在線段AB
1上且
.(12分)
分析:(1)連接B
1C,交BC
1于點O,由三角形中位線定理,可得OD∥B
1A,結(jié)合線面平行的判定定理可得AB
1∥面BDC
1;
(2)以C為坐標(biāo)原點,CC
1,CA,CB方向分別為X,Y,Z軸正方向建立空間坐標(biāo)系,求出平面C
1DB的法向量和平面BDC的法向量,代入向量夾角公式,即可求出二面角C
1-BD-C的余弦值;
(3)設(shè)設(shè)
,求出CP的方向向量和平面BDC
1的法向量,根據(jù)CP⊥面BDC
1,構(gòu)造關(guān)于a,λ的方程組,解方程組,求出a,λ的值,即可得到AA
1的長及點P的位置.
點評:本題考查的知識點是用空間向量求平面間的夾角,直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的判定,其中(1)的關(guān)鍵是證得OD∥B
1A,(2)(3)的關(guān)鍵是建立空間坐標(biāo)系,將空間直線與平面的垂直關(guān)系及二面角問題轉(zhuǎn)化為空間向量的夾角問題.