Question

已知中心為O的正方形ABCD的邊長為2，點M、N分別為線段BC、CD上的兩個不同點，且|

.

MN

|≤1，則

.

OM

•

.

ON

的取值范圍是（　　）

• A．[2-

  2

  ，2]
• B．[2-

  2

  ，2）
• C．[2-

  2

  ，2+

  2

  ]
• D．[2-

  2

  ，+∞）

Answer 1

分析：將正方體放入坐標系中，利用坐標法，結合數量積的定義和公式，轉化為線性規(guī)劃求

.

OM

•

.

ON

的取值范圍．

解答：解：將正方體ABCD放入直角坐標系中，如圖：則O（1，1），C（2，2），
設M（2，y），N（x，2），則設z=

.

OM

•

.

ON

=（1，y-1）•（x-1，1）=x-1+y-1=x+y-2，
則y=-x+z+2，
∵|

.

MN

|≤1，∴

(x-2)2+(y-2)2

≤1，
即（x-2）²+（y-2）²≤1，
平移直線y=-x+z+2，
由圖象可知當直線經過點C（2，2）時，直線y=-x+z+2的截距最大，此時z=2-2+2=2，
當直線y=-x+z+2與圓相切時（圓下方），直線y=-x+z+2的截距最小，此時z最小．
直線一般式方程為x+y-2-z=0，
則圓心C到直線x+y-2-z=0的距離d=

|2+2-2-z|

12+12

=

|z-2|

2

=1，
解得z=2-

2

或z=2+

2

（舍去）．
∵M、N是不同的兩點，所以z無最大值，
∴2-

2

≤z＜2．
即

.

OM

•

.

ON

的取值范圍是[2-

2

，2）．
故選B．

點評：本題主要考查平面向量的數量積的運算，將正方體放入坐標系中，利用|

.

MN

|≤1，建立M，N的軌跡方程，利用線性規(guī)劃的知識解決數量積的取值范圍，本題綜合性較強，難度較大．