Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A（0，3），直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)（1，-2），（3，2），設(shè)圓C的半徑為1，圓心在直線(xiàn)l上．
（Ⅰ）求直線(xiàn)l的方程；
（Ⅱ）若圓C被x軸截得的弦長(zhǎng)為

3

，求圓C的方程；
（Ⅲ）若圓C上存在點(diǎn)M，使MA=2MO，求圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：直線(xiàn)和圓的方程的應(yīng)用

專(zhuān)題：直線(xiàn)與圓

分析：（Ⅰ）求出直線(xiàn)的斜率，利用點(diǎn)斜式方程即可求直線(xiàn)l的方程；
（Ⅱ）若根據(jù)直線(xiàn)和圓的位置關(guān)系即可求圓C的方程；
（Ⅲ）根據(jù)條件MA=2MO，建立條件關(guān)系即可得到結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）由已知，直線(xiàn)l的斜率k=

2+2

3-1

=

1

2

，
∴直線(xiàn)l的方程為y-2=

1

2

（x-3），即2x-y-4=0．
（Ⅱ）∵圓C的圓心在直線(xiàn)l上，可設(shè)圓心坐標(biāo)為（a，2a-4），
由已知可得：|2a-4|=

1

2

，
∴a=

9

4

或a=

7

4

，
∴圓C方程為：(x-

9

4

)2+(y-

1

2

)2=1，或(x-

7

4

)2+(y+

1

2

)2=1．
（Ⅲ）∵圓C的圓心在在直線(xiàn)l：y=2x-4上，
∴設(shè)圓心C為（a，2a-4）
則圓C的方程為：（x-a）²+[y-（2a-4）]²=1，
又∵M(jìn)A=2MO，
∴設(shè)M為（x，y）則

x2+(y-3)2

=2

x2+y2

整理得：x²+（y+1）²=4設(shè)為圓D，
∴點(diǎn)M應(yīng)該既在圓C上又在圓D上   
即：圓C和圓D有交點(diǎn)
∴|2-1|≤

a2+[(2a-4)-(-1)]2

≤|2+1|，
由5a²-8a+8≥0得x∈R
由5a²-12a≤0得0≤x≤

12

5

終上所述，a的取值范圍為：[0，

12

5

]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線(xiàn)方程的求法，直線(xiàn)和圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，要求熟練掌握相應(yīng)的方程，考查學(xué)生的計(jì)算能力．