Question

已知向量

a

=（sinx，2

3

cosx），

b

=（2sinx，sinx），設(shè)f(x)=

a

 • 

b

-1，
（1）求f（x）的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若x∈[ 0 ，  

π

2

 ]，求f（x）的值域；
（3）若f（x）的圖象按

m

=（t，0）作長度最短的平移后，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，求

m

的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）由已知中向量

a

=（sinx，2

3

cosx），

b

=（2sinx，sinx），設(shè)f(x)=

a

 • 

b

-1，根據(jù)向量數(shù)量積計(jì)算公式，我們易求出f（x）的解析式，利用降冪公式（二倍角公式逆用）及輔助角公式，我們可將其化為正弦型函數(shù)的形式，進(jìn)而根據(jù)正弦型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，得到（x）的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）根據(jù)（1）中所得函數(shù)f（x）的解析式，結(jié)合x∈[ 0 ，  

π

2

 ]及正弦型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可求出此時(shí)f（x）的值域；
（3）f（x）的圖象按

m

=（t，0）作長度最短的平移后，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，即此時(shí)原點(diǎn)是f（x）的對稱中心，根據(jù)（1）中解析式，求出函數(shù)f（x）的距離原點(diǎn)最近的對稱中心，即可得到

m

的坐標(biāo)．

解答：解：f(x)= 

a

 • 

b

-1=2sin2x+2

3

cosxsinx-1=1-cos2x+

3

sin2x-1=2sin ( 2x-

π

6

 )（4分）
（1）最小正周期為：T=

2π

2

=π-

π

2

+2kπ≤2x-

π

6

≤

π

2

+2kπ（k∈Z）-

π

6

+kπ≤x≤

π

3

+kπ（k∈Z）
∴單調(diào)遞增區(qū)間為[-

π

6

+kπ，

π

3

+kπ]（k∈Z）（7分）
（2）∵x∈[ 0 ，   

π

2

 ]∴2x-

π

6

∈[ -

π

6

 ，   

5

6

π ]
∴sin ( 2x-

π

6

 )∈[ -

1

2

 ，   1 ]∴f（x）∈[-1，2]（10分）
（3）2x-

π

6

=kπ⇒x=

π

12

+

kπ

2

（k∈Z）
∴f（x）的對稱中心坐標(biāo)為（

π

12

+

kπ

2

，0）（k∈Z）
∵f（x）的圖象按

m

的長度最短的平移
∴

m

=(- 

π

12

 ，   0 )（13分）

點(diǎn)評：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，正弦型函數(shù)的周期，單調(diào)性，最值及函數(shù)圖象的平移變換，是三角函數(shù)圖象和性質(zhì)與平面向量的綜合應(yīng)用，熟練掌握正弦型函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．