Question

（2013•紅橋區(qū)二模）如圖，四棱錐P-ABCD的底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，側(cè)面PCD⊥底面ABCD，且PC=PD=2，M，N分別為棱PC，AD的中點(diǎn)．
（1）求證：BC⊥PD；
（2）求異面直線BM與PN所成角的余弦值；
（3）求點(diǎn)N到平面MBD的距離．

Answer 1

分析：因?yàn)閭?cè)面PCD⊥底面ABCD，取DC中點(diǎn)O，因?yàn)镻C=PD=2，則PO⊥交線CD，所以PO⊥底面ABCD，由此可想到利用空間向量來(lái)解決該題．
（1）標(biāo)出所用點(diǎn)的坐標(biāo)，求出BC和PD所對(duì)應(yīng)向量的坐標(biāo)，由兩向量的數(shù)量積等于0可證明BC⊥PD；
（2）求出與BM和PN所對(duì)應(yīng)的向量的坐標(biāo)，直接利用兩向量的夾角公式求異面直線BM與PN所成角的余弦值；
（3）求出平面MBD的一個(gè)法向量，在平面MBD內(nèi)任取一點(diǎn)，和N連結(jié)后得到一個(gè)向量，直接運(yùn)用向量求點(diǎn)到面的距離公式求距離．

解答：（1）證明：如圖，
因?yàn)閭?cè)面PCD⊥底面ABCD，取DC中點(diǎn)O，
因?yàn)镻C=PD=2，則PO⊥交線CD，所以PO⊥底面ABCD，
如圖，以O(shè)C，OP所在直線分別為y軸和z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則A（2，-1，0），B（2，1，0），C（0，1，0），D（0，-1，0），P（0，0，

3

），
N（1，-1，0），

BC

=(-2，0，0)，

PD

=(0，-1，-

3

)，
則

BC

•

PD

=0，所以BC⊥PD；
（2）解：

PN

=(1，-1，-

3

)，

BM

=(-2，-

1

2

，

3

2

)
設(shè)異面直線BM與PN所成角為θ，
則cosθ=|

PN • BM

| PN |•| BM |

|=

|-2+ 1 2 - 3 2 |

5 • 5

=

3

5

．
所以異面直線BM與PN所成角的余弦值為

3

5

；
（3）解：因?yàn)?span id="walhtwa" class="MathJye">

BD

=(-2，-2，0)，

BM

=(-2，-

1

2

，

3

2

)．
設(shè)平面MBD的一個(gè)法向量為

m

=（x，y，z），
由

m • BD =0 m • BM =0

，得

-2x-2y=0 -2x- 1 2 y+ 3 2 z=0

，取y=-1，得x=1，z=-

3

．
所以

m

=(1，-1，-

3

)，又

DN

=(1，0，0)，
所以點(diǎn)N到平面MBD的距離d=

| m • DN |

| m |

=

1

5

=

5

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了線面垂直的性質(zhì)，考查了異面直線所成的角，考查了空間中點(diǎn)到面的距離，求解的方法是利用空間向量，解答的關(guān)鍵是熟練掌握利用空間向量求空間角的公式及點(diǎn)到面的距離公式，是中檔題．