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已知左焦點為F(-1,0)的橢圓過點E（1,）.過點P(1,1)分別作斜率為k1,k2的橢圓的動弦AB,CD,設M,N分別為線段AB,CD的中點.

(1)求橢圓的標準方程;

(2)若P為線段AB的中點,求k1;

(3)若k1+k2=1,求證直線MN恒過定點,并求出定點坐標.


解:(1)依題設c=1,且右焦點F′(1,0).

所以2a=|EF|+|EF′|=+

=2,

b2=a2-c2=2,

故所求的橢圓的標準方程為+=1.

(2)設A(x1,y1),B(x2,y2),

則+=1,①

+=1.②

②-①,得+=0.

所以k1==-=-=-.

(3)依題設,k1≠k2.

設M(xM,yM),

又直線AB的方程為y-1=k1(x-1),

即y=k1x+(1-k1),

亦即y=k1x+k2,

代入橢圓方程并化簡得(2+3)x2+6k1k2x+3-6=0.

于是,xM=,yM=,

同理,xN=,yN=.

當k1k2≠0時,

直線MN的斜率k==

=.

直線MN的方程為y-=(x-),

即y=x+(·+),

亦即y=x-.

此時直線過定點（0,-）.

當k1k2=0時,直線MN即為y軸,

此時亦過點（0,-）.

綜上,直線MN恒過定點,且坐標為（0,-）.


練習冊系列答案
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科目：高中數學 來源： 題型：


已知雙曲線-=1(a>0,b>0)的兩條漸近線均和圓C:x2+y2-6x+5=0相切,且雙曲線的右焦點為圓C的圓心,則該雙曲線的方程為(　　)

(A) -=1  (B) -=1

(C) -=1  (D) -=1

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科目：高中數學 來源： 題型：


橢圓+=1的焦點為F1、F2,點P在橢圓上.若|PF1|=4,則|PF2|=　　　,∠F1PF2的大小為　　　　. 

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已知橢圓C: +=1(a>b>0)的一個頂點為A(2,0),離心率為.直線y=k(x-1)與橢圓C交于不同的兩點M,N.

(1)求橢圓C的方程;

(2)當△AMN的面積為時,求k的值.

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定義:關于x的不等式|x-A|<B的解集叫A的B鄰域.

已知a+b-2的a+b鄰域為區(qū)間(-2,8),其中a、b分別為橢圓+=1的長半軸長和短半軸長,若此橢圓的一焦點與拋物線y2=4x的焦點重合,則橢圓的方程為(　　)

(A) +=1  (B) +=1

(C) +=1  (D) +=1

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科目：高中數學 來源： 題型：


已知橢圓C: +=1(a>0,b>0)的右焦點為F(3,0),且點(-3, )在橢圓C上,則橢圓C的標準方程為　　　　. 

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科目：高中數學 來源： 題型：


已知雙曲線-=1(a>0,b>0)和橢圓+=1有相同的焦點,且雙曲線的離心率是橢圓離心率的兩倍,則雙曲線的方程為　　　　. 

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科目：高中數學 來源： 題型：


如圖,橢圓的中心為原點O,長軸在x軸上,離心率e=,過左焦點F1作x軸的垂線交橢圓于A、A′兩點, =4.

(1)求該橢圓的標準方程;

(2)取平行于y軸的直線與橢圓相交于不同的兩點P、P′,過P、P′作圓心為Q的圓,使橢圓上的其余點均在圓Q外.求△PP′Q的面積S的最大值,并寫出對應的圓Q的標準方程.

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科目：高中數學 來源： 題型：


一個頻率分布表(樣本容量為50)不小心被損壞了一部分，只記得樣本中數據在[20,60)上的頻率為0.6，則估計樣本在[40,50)，[50,60)內的數據個數之和是________．

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