Question

已知關(guān)于x不等式2x-a＜0的解集為A，不等式x²-（3+a）x+2（1+a）≥0的解集為B．
（Ⅰ）當(dāng)a=-4時(shí)，求A∪B；
（Ⅱ）若A∩B=A，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：一元二次不等式的解法,并集及其運(yùn)算,交集及其運(yùn)算

專題：

分析：（I）由不等式2x-a＜0可得解集A=(-∞，

a

2

)．不等式x²-（3+a）x+2（1+a）≥0因式分解為（x-2）（x-1-a）≥0．
當(dāng)a=-4時(shí)，A={x|x＜-2}，B={x|x≤-3或x≥2}．即可得出A∪B．
（II）由A∩B=A，可得A⊆B．對1+a與2的大小關(guān)系進(jìn)行討論即可得出．

解答： 解：（I）由不等式2x-a＜0解得x＜

a

2

．∴解集A=(-∞，

a

2

)．
不等式x²-（3+a）x+2（1+a）≥0化為（x-2）（x-1-a）≥0．
當(dāng)a=-4時(shí)，A={x|x＜-2}，B={x|x≤-3或x≥2}．
∴A∪B={x|x＜-2或x≥2}．
（II）∵A∩B=A，∴A⊆B．
∵A=(-∞，

a

2

)．
當(dāng)1+a＞2時(shí)，即a＞1時(shí)，B={x|x≤2或x≥1+a}，
∴

a

2

≤2，解得a≤4．∴1＜a≤4．
當(dāng)1+a=2時(shí)，即a=1時(shí)，B=R．滿足A⊆B，∴a=1．
當(dāng)1+a＜2時(shí)，即a＜1時(shí)，B={x|x≤1+a或x≥2}，
∵A⊆B，∴1+a≥

a

2

，解得a≥-1，∴-2≤a＜1．
綜上可得：-2≤a≤4．

點(diǎn)評：本題考查了一元二次不等式的解法、集合的運(yùn)算關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查了分類討論思想方法，屬于難題．