Question

拋物線C的方程為，過拋物線C上一點(diǎn)P(x₀,y₀)(x ₀≠0)作斜率為k₁,k₂的兩條直線分別交拋物線C于A(x₁,y₁)B(x₂,y₂)兩點(diǎn)(P,A,B三點(diǎn)互不相同)，且滿足.
（Ⅰ）求拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；
（Ⅱ）設(shè)直線AB上一點(diǎn)M，滿足，證明線段PM的中點(diǎn)在y軸上；
（Ⅲ）當(dāng)=1時(shí)，若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，-1），求∠PAB為鈍角時(shí)點(diǎn)A的縱坐標(biāo)的取值范圍.

Answer 1

（Ⅰ）由拋物線的方程（）得，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為．
（Ⅱ）證明：設(shè)直線的方程為，直線的方程為．
點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)是方程組的解．將②式代入①式得，于是，故�、�
又點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)是方程組的解．將⑤式代入④式得．于是，故．
由已知得，，則．　�、�
設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由，則．
將③式和⑥式代入上式得，即．
∴線段的中點(diǎn)在軸上．
（Ⅲ）因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，所以，拋物線方程為．
由③式知，代入得．
將代入⑥式得，代入得．
因此，直線、分別與拋物線的交點(diǎn)、的坐標(biāo)為
，．
于是，，
．
因為鈍角且、、三點(diǎn)互不相同，故必有．
求得的取值范圍是或．又點(diǎn)的縱坐標(biāo)滿足，故當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．即

將直線方程和拋物線方程組成的方程組轉(zhuǎn)化為一元二次方程，用韋達(dá)定理來求解.點(diǎn)評(píng)：解析幾何解題思維方法比較簡(jiǎn)單，但對(duì)運(yùn)算能力的要求比較高，平時(shí)練習(xí)要注意提高自己的運(yùn)算能力.