Question

如圖，長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，CC₁=4，AB=BC=3．
（1）若E、F分別是BC₁、A₁C₁中點(diǎn)，求證：EF∥平面DCC₁；
（2）求二面角A₁-BC₁-D的正弦值．

Answer 1

【答案】分析：（I）連接D₁B₁，B₁C，利用長(zhǎng)方體的性質(zhì)可得E、F分別是B₁D₁和B₁C的中點(diǎn)，再利用三角形的中位線定理可得EF∥D₁C．利用線面平行的判定定理即可證明；
（II）通過建立空間直角坐標(biāo)系，利用兩個(gè)平面的法向量的夾角即可得到二面角．
解答：（Ⅰ）證明：連接D₁B₁，B₁C，則長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，BC₁∩B₁C=E，D₁B₁∩A₁C₁=F，
∴E、F分別是B₁D₁和B₁C的中點(diǎn)
∴EF∥D₁C．又EF?平面DCC₁；D₁C?平面DCC₁；
∴EF∥平面DCC₁；
（Ⅱ）解：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則D（0，0，0），B（3，3，0），C₁（0，3，4），A₁（3，0，4）．
∴=（-3，0，4），=（3，3，0），=（-3，3，0）．
設(shè)平面DBC₁的法向量為，則，取x₁=4，解得y₁=-4，z₁=3，∴=（4，-4，3）；
設(shè)平面A₁BC₁的法向量為=（x₂，y₂，z₂），則，取x₂=4，解得y₂=4，z₂=3，∴=（4，4，3）；
∴==，
設(shè)二面角A₁-BC₁-D的大小為θ，則sinθ==．
即二面角A₁-BC₁-D的正弦值為．
點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了長(zhǎng)方體的性質(zhì)、三角形的中位線定理、線面平行的判定定理、通過距離空間直角坐標(biāo)系利用法向量的夾角求二面角等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能，考查了空間想象能力、推理能力和計(jì)算能力．