Question

19．已知正數(shù)a，b，c滿足：5c-3a≤b≤4c-a，clnb≥a+clnc，求$\frac{a}$的取值范圍．

Answer 1

分析 利用換元法將不等式組進(jìn)行轉(zhuǎn)化，然后利用線性規(guī)劃的知識(shí)結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線斜率，進(jìn)行求解即可．

解答 解：∵5c-3a≤b≤4c-a，
∴5-3•$\frac{a}{c}$≤$\frac{c}$≤4-$\frac{a}{c}$，即3•$\frac{a}{c}$+$\frac{c}$≥5，$\frac{a}{c}$+$\frac{c}$≤4，
∵clnb≥a+clnc，
∴cln$\frac{c}$≥a，即$\frac{c}$≥e${\;}^{\frac{a}{c}}$，
設(shè)$\frac{a}{c}$=x，$\frac{c}$=y，
則不等式等價(jià)為$\left\{\begin{array}{l}{3x+y≥5}\\{x+y≤4}\\{y≥{e}^{x}}\end{array}\right.$，$\frac{a}$=$\frac{y}{x}$，則$\frac{y}{x}$的幾何意義是區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)的斜率，
作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：
由圖象知當(dāng)直線y=kx與y=e^x相切時(shí)，k最小，
函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=e^x，設(shè)切點(diǎn)為（a，b），則過原點(diǎn)的切線方程為y-b=e^a（x-a），
即y=e^ax-ae^a+e^a，
∵切線過原點(diǎn)，
∴0=e^a（1-a），則1-a=0，a=1，此時(shí)k=e，
OA的斜率最大，由$\left\{\begin{array}{l}{3x+y=5}\\{x+y=4}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}}\\{y=\frac{7}{2}}\end{array}\right.$，即A（$\frac{1}{2}$，$\frac{7}{2}$），
則OA的斜率k=$\frac{\frac{7}{2}}{\frac{1}{2}}$=7，
即e≤k≤7，
即$\frac{a}$的取值范圍是[e，7]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用換元法將不等式組轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．