Question

已知在平面直角坐標(biāo)系xoy內(nèi)，點(diǎn)P（x，y）在曲線C：

x=1+cosθ y=sinθ

（θ為參數(shù)）上運(yùn)動(dòng)．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為ρcos（θ+

π

4

）=0．
（Ⅰ）寫出曲線C的普通方程和直線l的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）若直線l與曲線C相交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)M在曲線C上移動(dòng)，求△ABM面積的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程

專題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（I）利用

x=ρcosθ y=ρsinθ

即可把極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；
（II）利用點(diǎn)到直線的距離公式可得圓心（1，0）到直線l的距離d=，由于圓上的點(diǎn)M到直線的最大距離為d+r，再利用弦長(zhǎng)公式可得|AB|=2

r2-d2

，利用△ABM面積的最大值=

1

2

|AB|(d+r)即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）由曲線C：

x=1+cosθ y=sinθ

，消去參數(shù)θ化為普通方程為：（x-1）²+y²=1，
由直線l的極坐標(biāo)方程為ρcos（θ+

π

4

）=0，展開化為

2

2

ρcosθ-

2

2

ρsinθ=0，
∴直線l的直角坐標(biāo)方程：y=x．
（Ⅱ）圓心（1，0）到直線l的距離d=

1

2

=

2

2

，
則圓上的點(diǎn)M到直線的最大距離為d+r=

2

2

+1，∴|AB|=2

r2-d2

=2

12-( 2 2 )2

=

2

，
∴△ABM面積的最大值=

1

2

|AB|(d+r)=

1

2

×

2

×(

2

2

+1)=

2 +1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程、點(diǎn)到直線的距離公式、弦長(zhǎng)公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于難題．