Question

已知函數(shù)f（x）=aln（x+1）-x²，若在區(qū)間（0，1）內(nèi)任取兩個(gè)不同實(shí)數(shù)m，n，不等式

f(m+1)-f(n+1)

m-n

＜1恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問(wèn)題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由于

f(m+1)-f(n+1)

m-n

表示點(diǎn)（m+1，f（m+1）） 與點(diǎn)（n+1，f（n+1））連線的斜率，故函數(shù)圖象上在區(qū)間（1，2）內(nèi)任意兩點(diǎn)連線的斜率小于1，故有 f′（x）=

a

x+1

-2x＜1 在（1，2）內(nèi)恒成立，即 a＜2x²+3x+1在（1，2）內(nèi)恒成立，由此求得a的取值范圍．

解答： 解：由于

f(m+1)-f(n+1)

m-n

=

f(m+1)-f(n+1)

(m+1)-(n+1)

，則表示點(diǎn)（m+1，f（m+1）） 與點(diǎn)（n+1，f（n+1））連線的斜率，因?qū)崝?shù)p，q在區(qū)間（0，1）內(nèi)，故m+1和n+1在區(qū)間（1，2）內(nèi)．
∵不等式

f(m+1)-f(n+1)

m-n

=

f(m+1)-f(n+1)

(m+1)-(n+1)

，恒成立，
∴函數(shù)圖象上在區(qū)間（1，2）內(nèi)任意兩點(diǎn)連線的斜率小于1，
故函數(shù)的導(dǎo)數(shù)小1在（1，2）內(nèi)恒成立．
由函數(shù)的定義域知，x＞-1，
∴f′（x）=

a

x+1

-2x＜1 在（1，2）內(nèi)恒成立．
即 a＜2x²+3x+1在（1，2）內(nèi)恒成立．
由于二次函數(shù)y=2x²+3x+1在[1，2]上是單調(diào)增函數(shù)，
故 x=1時(shí)，y=2x²+3x+1 在[1，2]上取最小值為6，
∴a≤6，
故答案為：a≤6．

點(diǎn)評(píng)：本題考查斜率公式的應(yīng)用，考查函數(shù)的恒成立問(wèn)題，將函數(shù)恒成立轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值是解決不等式恒成立問(wèn)題的基本方法．