Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

a

3

x3-

3

2

x2+（a+1）x+1，其中a為實數(shù)．
（1）已知函數(shù)f（x）在x=1處取得極值，求a的值；
（2）已知不等式f′（x）＞x²-x-a+1對任意a∈（0，+∞）都成立，求實數(shù)x的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求導(dǎo)f′（x）=ax²-3x+a+1，從而由f′（1）=a-3+a+1=0求a并驗證；
（2）不等式f′（x）＞x²-x-a+1可化為ax²-3x+a+1＞x²-x-a+1；故a＞

x2+2x

x2+2

對任意a∈（0，+∞）都成立；從而化為

x2+2x

x2+2

≤0；從而解得．

解答： 解：（1）∵f（x）=

a

3

x3-

3

2

x2+（a+1）x+1，
∴f′（x）=ax²-3x+a+1；
則由函數(shù)f（x）在x=1處取得極值知，
f′（1）=a-3+a+1=0；
解得a=1；
經(jīng)驗證，當(dāng)a=1時，函數(shù)f（x）在x=1處取得極大值；
故a=1；
（2）不等式f′（x）＞x²-x-a+1可化為
ax²-3x+a+1＞x²-x-a+1；
故a＞

x2+2x

x2+2

對任意a∈（0，+∞）都成立；
故

x2+2x

x2+2

≤0；
故-2≤x≤0；
故實數(shù)x的取值范圍為[-2，0]．

點(diǎn)評：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及恒成立問題，屬于中檔題．