Question

4．已知函數f（x）=ax²-e^x（a∈R）．
（Ⅰ）求函數f（x）在點P（0，-1）處的切線方程；
（Ⅱ）若函數f（x）為R上的減函數，試求a的取值范圍；
（Ⅲ）證明：對任意a≤0，f（x）≤-x-1恒成立．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數的導數，求得切線的斜率，由點斜式方程即可得到切線方程；
（Ⅱ）由題意可得f′（x）=2ax-e^x≤0在R上恒成立，對x討論，x＞0，x＜0，x=0，運用參數分離和函數的單調性求得最小值，即可得到a的范圍；
（Ⅲ）由題意可得e^x-ax²-x-1≥0恒成立，令F（x）=e^x-ax²-x-1，求出導數，求得單調區(qū)間和極值、最值，由恒成立思想即可得證．

解答 解：（Ⅰ）f（x）的導數為f′（x）=2ax-e^x，
即有函數f（x）在點P（0，-1）處的切線斜率為k=-1，
則函數f（x）在點P（0，-1）處的切線方程為y+1=-（x-0），
即為x+y+1=0；
（Ⅱ）由題意可得f′（x）=2ax-e^x≤0在R上恒成立，
當x＞0時，2a≤$\frac{{e}^{x}}{x}$，設g（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$，
g′（x）=$\frac{{e}^{x}（x-1）}{{x}^{2}}$，
當x＞1時，g′（x）＞0，g（x）遞增，
當0＜x＜1時，g′（x）＜0，g（x）遞減．
即g（x）_min=g（1）=e，
則有a≤$\frac{e}{2}$；
當x＜0時，2a≥$\frac{{e}^{x}}{x}$，又$\frac{{e}^{x}}{x}$＜0，即有2a≥0，即a≥0；
當x=0時，f′（x）=-1≤0恒成立．
綜上可得，a的取值范圍是[0，$\frac{e}{2}$]．
（Ⅲ）證明：當a≤0由f（x）≤-x-1得e^x-ax²-x-1≥0恒成立，
令F（x）=e^x-ax²-x-1，則F'（x）=e^x-2ax-1，
當x＜0時，e^x＜1，-2ax≤0∴F'（x）=e^x-2ax-1＜0
當x＞0時，e^x＞1，-2ax≥0∴F'（x）=e^x-2ax-1＞0，
∴F（x）在（-∞，0）上單調遞減，在（0，+∞）上單調遞增，
$F{（x）_{min}}=F（0）={e^0}-1=0$，即F（x）≥0恒成立．
綜上所述，當a≤0時，f（x）≤-x-1恒成立．

點評 本題考查導數的運用：求切線方程和求單調區(qū)間、極值和最值，同時考查不等式的恒成立問題轉化為求函數的最值，運用分類討論的思想方法是解題的關鍵．